Базис - максимальная упорядоченная

система линейно независимых векторов.

Если векторы , , взаимно ортогональны и по модулю равны единице, то они называются ортами прямоугольной декартовой системы координат, а сам базис ортонормированным декартовым базисом. Орты декартовой системы координат обычно обозначают как , , .

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

Операции над векторами в координатной форме.

-нач.точка -кон.точка

направляющие косинусы

__________________________________________________________________

Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление.

Скалярное произведение векторов

Опр. Скалярным произведением векторов наз-ся скалярное произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если вектор нулевой, то все произведения-ноль

Св-ва скалярного произведения.

1. Если и ортоганальны , то

2. если ; если

3. (коммутативность)

4. (дистрибутивность)

5.

6. = =

( скалярное произведение в координатах)

Условие ортоганальности векторов

Условие коллинеарности векторов

Скалярный квадрат

__________________________________________________________________

Векторное произведение, его свойства, вычисление.

Свойства векторного произведения.

1. Если 2 вектора коллиниарны , их произведение = 0

2. Если поменять местами сомножители, меняется знак

(антикоммутативность)

3.

4.

5.

Пример.

__________________________________________________________________

Смешанное произведение трех векторов, его свойства, геометрический смысл, вычисление.

Смешанное произведение векторов.

= = =

Свойства смешанного произведения.

1.

2.

3.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов:

1) Абсолютная величина смешанного произведения векторов , , численно равна объему V₁ параллелепипеда, построенного на этих векторах, т. е. V₁ = | |. Кроме того, , V₂ - объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .
2) Условие компланарности трex векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения, т. е. ( , , - компланарны) ( = 0). В координатной форме условие компланарности имеет вид:

__________________________________________________________________

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Прямая линия на плоскости. Различные уравнения прямой. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема: Всякое линейное ур-ние вида (oбщее ур-е прямой) определяет прямую на плоскости.

Векторное ур-е прямой.

; ; ;

; -векторное ур-е прямой

-ур-е прямой проходящей через данную точку с данным нормальным вектором

-ур-е прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое ур-е)

; , т.к. или

,где - ур-ние прямой проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом.

-ур-ние прямой с данным угловым коэффициентом.

-ур-ние прямой проходящей через 2 заданные точки.

- ур-ние прямой в отрезках

- нормальное ур-е прямой

-расстояние от начала координат до прямой

;

Параметрическое уравнение прямой.

Условие параллельности двух прямых.

;

Условие перпендикулярности двух прямых.

Угол между двумя прямыми .

=

__________________________________________________________________

Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Плоскость в пространстве.

Опр: Любое линейное уравнение от 3-х переменных определяет пл-ть в пространстве и обратно. - общее ур-е пл-ти в пространстве

-пл-ть проходит через начало координат

ур-е пл-ти, проходящей через данную точку и данный нормальный вектор

-направляющие вектора пл-ти

-смешанное произведение 3-х векторов

- ур-е пл-ти проходящей через данную точку с данными направляющими векторами.

Пусть

x,y,z -текущие координаты

- ур-е пл-ти в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости.

-нормальное ур-е пл-ти

p - расстояние от начала координат до плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей.

;

Условие перпендикулярности двух плоскостей.

; ;

Угол между плоскостями.

__________________________________________________________________

Прямая линия в пространстве. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.

Прямая в пространстве.

- векторное ур-е прямой в пространстве

t= каноническое ур-е прямой

- параметрическое ур-е прямой в пространстве

- ур-е прямой прох. через 2 данные точки

- общее ур-е прямой в пространстве

Пример.

Условие параллельности 2-х прямых

; ;

Если , то прямые перпендикулярны ортогонально.

__________________________________________________________________

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: