Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(*)

А=( ) H=

Т. Кронекера-Капелли.

Система уравнений (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы r(A)=r(H)

Если система совместна, то она имеет единственное решение, если r(A)=r(H)=n и его можно найти методами Крамера или Гаусса.

Если r(A)=r(H)=k<n, то система имеет бесконечно много решений. В этом случае n-k неизвестных обьявляются свободными неизвестными (принимают любые значения), оставшиеся kнеизвестных выражаются через эти свободные неизвестные.

Однородные системы линейных уравнений

Если в системе (*) все свободные члены равны нулю, то такая система является однородной.

Однородные системы всегда совместны т.к. = = = =0 всегда является решением. Такое решение называется тривиальным.

1) то

2) Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных,то система имеет бесконечно много решений

Свойства решений линейной однородной системы уравнений.

1) Если является решением системы, то также является решением.

Доказательство.

2) Если является решением системы

также является решением той же самой системы, то и

также является решением системы

Доказательство.

откуда получим

3) Если и два различных решения системы, то их линейная комбинация, равная

также является решением системы.

Доказательство.

откуда получим

Каждое из решений системы можно записать в виде строки

матрицы , тогда на основании свойств можно утверждать, что матрицы есть решения, то также являются решением. Минимальная возможная система решений через которую выражаются все остальные решения называется фундаментальной системой решений.

Пример.

~ ~

{ {

__________________________________________________________________

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

1) Геометрический вектор. Равенство векторов, коллинеарность, компланарность. Линейные операции над векторами.

Геометрический вектор

Понятие вектора

Вектор: отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

Обозначается:

Два вектора равны, если они совпадают при параллельном переносе.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Линейные операции над векторами.

А) Умножение вектора на число.

Б) Сложение векторов

3) -длину вектора умножить на и оставить направление вектора если

Таким образом операции обладают св-ми.

Вектор у которого начало и конец совпадают есть нулевой вектор

Вычитание- обратное сложению.

__________________________________________________________________

Линейная зависимость векторов. Базис. Декартов базис.

Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости.

Опр 1. Система векторов называется линейно зависимой, если сущ. числа не все равные 0, такие что (1)

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа =0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов

Опр 2. Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теор 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Док-во. Пусть , тогда