Первое начало термодинамики

Или этот закон можно записать в виде:

Примеры решения задач

Пример 3.1.1. Баллон с метаном емкостью 100 л находит­ся под давлением 10 МПа при t = 15°С. После израсхо­дования части метана давление понизилось до 7 МПа, а температура упала до t = 10°С. Определить массу израс­ходованного газа.

Решение

Из уравнения состояния PV = GRT нахо­дим, что до расходования метана его масса в баллоне была равна

кг;

Дж/(кг∙К).

После израсходования части газа масса метана в бал­лоне будет равна

кг.

Следовательно, расход метана составит

кг.

Пример 3.1.2. Определить удельный объем пропана как идеального газа при следующих условиях: температура газа t = 20°С, манометрическое (избыточное) давление газа в баллоне 5,6 МПа. Абсолютное давление газа в помещении равно

В = 0,099 МПа= 99,0 кПа.

Решение

Абсолютное давление газа в баллоне

МПа.

Удельная газовая постоянная пропана

Дж/(кг∙К).

Абсолютная температура газа

Т = 273,2 + 20 - 293,2 К.

Удельный объем пропана в рассматриваемых усло­виях

м³/кг.

Удельный молярный объем пропана при тех же усло­виях равен

м³/кмоль,

или, что то же самое,

м³/кмоль.

Пример 3.1.3. Газ при давлении 5 ат (Р₁) занимает объем, равный 60 м³ (V₁). Какой объем займет газ при 15 ат (Р₂) и той же температуре?

Решение

Согласно закону Бойля-Мариотта при Т=const P₂V₂=P₁V₁

Следовательно:

м³.

Пример 3.1.4. Коксовый газ, образовавшийся в камере коксовой печи, охладился с 1000 до 50⁰С. Во сколько раз уменьшился объем коксового газа, если давление его не изменилось?

Решение

Исходя из закона Гей-Люссака при P=const можно записать

Откуда, принимая конечный объем за 1, получим

раза.

Пример 3.1.5. Под давлением 100 кПа и при температуре 123⁰С находится 4,2 кг метана. Какой объем занимает метан?

Решение

Для G кг газа по уравнению Клапейрона-Менделеева получим:

м³;

Дж/кг∙К,

где =16,03.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1.1. В цилиндре с подвижным поршнем находится 1 часть кислорода и 1 часть метана в состоянии термодинамического равновесия. Определить соотношение объемов.

Ответ: 0,5.

Задача 3.1.2. Компрессор подает кислород в резервуар емкостью 3 м³. Избыточное давление его увеличивается от 0,1 до 6 ат, а температура от -15 ^оС до +5 ^оС. Определить количество закачанного кислорода, если барометрическое давление 745 мм рт. ст.

Ответ: 21,7 кг.

Задача 3.1.3. Сжатый воздух в баллоне имеет температуру t = 15 ^oС, давление 4,8 МПа. Во время пожара температура воздуха поднялась до 450 ^оС. Взорвется ли баллон, если известно, что при этой температуре он может выдержать давление не более 9,8 МПа.

Задача 3.1.4. Баллон с кислородом емкостью 20 л находится под давлением 10 МПа при t = 15 ^oС. После израсходования части кислорода давление понизилось до 7,6 МПа, а температура упала до 10^oС. Определить массу израсходованного кислорода.

Ответ: 0,606 кг.

Задача 3.1.5. В баллоне с метаном первоначальное давление составляло 320 кПа. При той же температуре повысили давление в баллоне до 5000 кПа. Во сколько раз изменится плотность метана?

Ответ: в 15,6 раза.

Задача 3.1.6. В газгольдер при температуре 27⁰С закачано 100000 м³ коксового газа. Какой объем будет занимать указанное количество газа при температуре 270⁰С.

Ответ: 181000 м³.

Задача 3.1.7. Какова масса 10 м³ водорода, 10 м³ азота и 10 м³ метана при 10 ат и 100⁰С?

Ответ: H₂=6,37 кг; N₂ = 88,5 кг; CH₄ = 50,6 кг.

Газовые смеси

Теоретические основы

Характерной особенностью газовых смесей является то, что каждый входящий в смесь газ или, как обычно говорят, компонент ведет себя так, как будто других составляющих смеси газов не существует, то есть он распространяется по всему доступному для него объе­му. Примером такой смеси служит природный газ, ком­понентами которого являются метан СН₄, этан С₂Н₆, пропан С₃Н₈, бутан С₄Н₁₀ и другие углеводороды сме­си.

Решение задач на смеси сводится, главным образом, к определению массовых и молярных концентраций ком­понентов (т_i, r_i), определению

средней молекулярной массы смеси (μ_i), теплоемкостей смеси (C_pm, C_vm), газо­вой постоянной (R_m), средней температуры смеси (T_m).

Состав газовой смеси определяется количеством каждого из газов, входящих в смесь, и может быть задан массовыми или объёмными долями.

Массовая доля определяется отношением массы отдельного газа, входящего в смесь, к массе всей смеси:

, , , …, ,

где M₁ , M₂ , M₃, …,M_n – массы отдельных газов и M – масса всей смеси.

Объёмной долей газа называют отношение объёма каждого компонента, входящего в смесь, к объёму всей газовой смеси, при условии, что объём каждого компонента, отнесён к давлению и температуре (приведённый объём):

, , , …, ,

где V₁ ,V₂,V₃,…V_n – приведённые объёмы компонентов газов, входящих в смесь; V – общий объём газовой смеси.

Очевидно, что

;

,

а также

;

.

Для перевода массовых долей в объёмные пользуются формулой

. (3.1.2)

Объёмные доли переводят в массовые по формуле

. (3.1.3)

Плотность смеси определяют из выражения

, кг/м³ (3.1.4)

или, если известен массовый состав, по формуле

, кг/м³ (3.1.5)

Удельный объём смеси представляет величину обратную, поэтому, если дан объёмный состав смеси, то

, м³/кг (3.1.6)

Если же известен массовый состав, то

, м³/кг (3.1.7)

Из уравнения (3.1.4) легко получить так называемой кажущейся молекулярной массы газовой смеси

(3.1.8)

или через массовый состав

. (3.1.9)

Газовую постоянную смеси газов (R_см) можно выразить или через газовые постоянные отдельных компонентов, входящих в смесь, или через кажущуюся молекулярную массу смеси

, Дж/(кг∙К) (3.1.10)

или

, Дж/(кг∙К) (3.1.11)

Связь между давлением газовой смеси и парциальными давлениями отдельных компонентов, входящих в смесь, устанавливается следующей зависимостью (закон Дальтона), легко получаемый из основного уравнения кинетической теории газов:

,

где p – общее давление газовой смеси; p₁, p₂, …, p_n – парциальные давления отдельных компонентов, входящих в смесь.

В табл. 3.1.1 даны формулы для расчёта газовых смесей.

Таблица 3.1.1

Формулы для расчёта газовых смесей

Задание состава смеси	Перевод из одного состава в другой	Плотность и удельный объём смеси	Кажущаяся молеку- лярная масса	Газовая постоянная смеси	Парциаль-ное давление
Массовыми долями
Объёмными долями

Парциальные давления определяются проще всего, если известны объёмные доли отдельных компонентов входящих в смесь;

, и т.д.

или вообще

(3.1.12)

где p_i – парциальное давление любого газа, входящего в смесь.

Если известны массовые доли, то парциальное давление любого газа, входящего в смесь,

.

Примеры решения задач

Пример 3.1.6. По данным анализа установлен следующий объемный состав природного газа:

Определить среднюю молекулярную массу природно­го газа μ_т, плотность газа в нормальных условиях ρ, массовые концентрации компонентов т_i, их парциаль­ные давления P_i; средние теплоемкости C_pm, C_vm и показатель адиабаты k.

Решение

Молекулярные массы составляющих смесь газов равны (по данным физических характеристик ком­понентов газа из справочных таблиц):

Молекулярная масса природного газа определяется по уравнению

, (3.1.13)

где μ_i — молекулярная масса компонентов смеси, CH₄, C₂H₆, C₃H₈ и т. д.; r_i — молярная (или объемная) концентрация компо­нентов смеси, определяемая как отношение объ­ема компонента к объему смеси; т_i -массовая концентрация компонентов смеси, оп­ределяемая как отношение массы данного ком­понента к массе смеси в целом.

Так как в условии задачи дан объемный состав га­за, то удобнее воспользоваться первым уравнением со­отношения (3.1.13)

кг/кмоль.

Плотность газа при нормальных условиях (0°С и 0,1 МПа) можно определить из уравнения Клапейрона Рυ=Р/ρ=R/T или из закона Авогадро, утверждающего, что удельный молярный объем газа в нормальных усло­виях величина постоянная и равна

м³/кмоль,

кг/м³.

По уравнению Клапейрона при t = 0°C и Р = 0,1 МПа

кг/м³,

Дж/(кг∙К).

Массовые и объемные концентрации газа связаны меж­ду собой соотношением

(3.1.14)

отсюда

(3.1.15)

Следовательно, массовые концентрации отдельных компонентов смеси равны:

,

Так что массовый состав газа в процентах равен:

Сумма массовых концентраций, как и молярных (объемных), равна единице:

(3.1.17)

Парциальные давления отдельных компонентов газа определяются по закону Дальтона из соотношения

(3.1.18)

Так что давление метана CH₄, этана C₂H₆ и т. д. в смеси равно:

МПа,

МПа,

МПа,

МПа,

МПа,

МПа.

Сумма парциальных давлений равна давлению смеси

МПа.

Средняя теплоемкость смеси определяется по урав­нениям:

массовая теплоемкость смеси

(3.1.19)

молярная теплоемкость смеси

(3.1.20)

где — массовая теплоемкость компонентов смеси при данной температуре; — молярная теплоёмкость компонентов смеси при данной температуре.

При температуре 0 °С и давлении 0,1 МПа можно принять, что теплоемкость метана = 2,17 кДж/кг∙К, этана = 1,65 кДж/кг∙К, пропана = 1,56кДж/кг∙К, бутана = 1,58 кДж/кг∙К, угле­кислого газа = 0,815 кДж/кг∙К, азота =1,039 кДж/кг∙К. Следовательно, массовая теплоем­кость смеси (при постоянном давлении) равна

кДж/кг∙К.

Молярная теплоемкость смеси газов при постоянном давлении

кДж/кмоль∙К.

Из уравнения Майера мож­но найти теплоемкости смеси при постоянном объеме

кДж/кг∙К,

кДж/кг∙К.

Из сопоставления численных значений теплоемкостей можно определить показатель адиабаты природного га­за указанного состава (как идеального газа)

.

Пример 3.1.7. Критическая температура н-бутана Т_кр=425,2 К и критическое давление Р_кр=37,5 атм. Определить удельный объем н-бутана при температуре 80 ⁰С и давлении 10 кг/см².

Решение

а) Определяем приведенную температуру и приведенное давление

,

.

б) По графику рис. 3.1.2 определяем коэффициент сжимаемости z=0,825.

в) удельный объем определяем из уравнения откуда

м³/кг.

Пример 3.1.8. Определить вязкость водорода и вязкость двуокиси углерода при температуре 200 ⁰С и нормальном давлении.

Решение

Вязкость названных газов определяем по уравнению Сутерланда

Таблица 3.1.2

Значение коэффициента С в уравнении Сутерланда для различных газов

Вязкость водорода и двуокиси углерода при нормальной температуре равна: водорода 84∙10^-7н∙сек/м² и двуокиси углерода 136,75∙10^-7 н∙сек/м², а из табл. 3.1.2 значение равно 73 и 254.

Вязкость Н₂ при 200^0С:

Тем же приемом определяем для СО₂ η = 225,8∙10^-7 н∙сек/м².

Пример 3.1.9. Атмосферный воздух имеет примерно следующий массовый состав: т_О2=23,2%; т_N2=76,8%.

Определить объемный состав воздуха, его газовую постоянную, кажущуюся молекулярную массу и парциальные давления кислорода и азота, если давление воздуха по барометру р=101325 Па.

Решение

По уравнению получаем

Газовую постоянную воздуха находим по уравнению

=0,232∙260+0,768∙295=287 Дж/(кг∙К).

Кажущуюся молекулярную массу смеси определяем из уравнения

=0,21∙32+0,79∙28,02=28,9,

или из уравнения

Отсюда

Парциальные давления получим из уравнения

р_i=r_ip,

следовательно

р_О2=r_О2 p=0,21∙101325=21278 Па;

р_N2=r_N2 p=0,79∙101325=80047 Па.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1.8.Баллон объемом V₁=0,35 м³, содержащий метан, соединили с баллоном объемом V₂=0,15 м³, со­держащим этан. Определить удельную газовую посто­янную смеси, а также парциальные давления компонен­тов, если давление смеси в целом равно Р = 0,5 МПа.

Ответ: сумма парциальных давлений компонентов равна общему давлению (контрольное уравнение)

МПа.

Задача 3.1.9. При сгорании 1 кг природного газа образу­ются продукты сгорания следующего массового состава: = 3,5 кг, = 1,06 кг; = 1,4 кг и = 12,1 кг.

Определить молекулярную массу смеси, ее газовую постоянную, показатель адиабаты для смеси компонентов.

Ответ: μ_т=30,58 кг/кмоль; R=271,9 Дж/кг∙К; К=1,37.

Задача 3.1.10.В коллекторе смешивается несколько га­зов: углекислый газ СО₂ с температурой 450°С и массо­вым расходом 5 кг/с, окись углерода СО с температурой 400°С и массовым расходом 2 кг/с и азот N₂ с температу­рой 350°С и массовым расходом 8 кг/с. После смешения смесь газов идет на нагрев воды; при этом смесь охлаж­дается до температуры 200°С. Определить среднюю тем­пературу смеси и количество тепла, отданное воде в условиях постоянного давления (рис. 3.1.1),

Рис. 3.1.1. Принципиальная коллекторная схема смешения газов (Р =idem)

Ответ: t_m=389^оС; Q=297,7 кВт.

Задача 3.1.11. Имеются газы: метан - 0,8 м³ при 10 ат (0,98 МПа), этан - 0,6 м³ при ат (0,59 МПа) и пропан - 0,4 м³ при 4 ат (0,39 МПа).

Найти давление их смеси в объеме 1 м³ и молярные концентрации.

Задача 3.1.12. Определить, сколько углекислоты (СО₂) может раствориться в 15 т воды при нормальном давлении и температуре 20 ⁰С.

Задача 3.1.13. Объем газа, собранного над водой при 20 ⁰С и барометрическом давлении 750 мм рт. ст., равен 1,2 м³. Какой объем займет указанное количество газа при нормальных условиях?

Ответ: V₀=1,08 нм³.

Задача 3.1.14. Определить приведенные температуры и приведенное давление водорода и метана при температуре 100⁰С и давлении 21 кг/см² (2,06 МПа) (рис. 3.1.2).

Задача 3.1.15.Газовая смесь находится под давлением 3 МПа. Объемная концентрация компонентов смеси: r₁=0,4; r₂=0,2; r₃=0,3; r₄=0,1. Определить парциальное давление этих компонентов в смеси.

Ответ: Р=3 Мн/м³.

Задача 3.1.16. Газовая смесь, состоящая из метана - 80%; этана - 8,5%; этилена - 4.8%; пропана - 6% и пропилена - 0,7%, сжата при температуре 60⁰С до 40 ат. Определить плотность газовой смеси.

Ответ: ρ = 27,3 кг/м³.

Задача 3.1.17.Определить коэффициент теплового расширения пропилена в пределах температур от -20 до +20⁰С.

Задача 3.1.18. Газовая смесь состоит из метана - 80%; этана - 10%; пропана - 6,4%; н-бутана - 3,6%. Определить динамическую вязкость смеси при нормальных условиях.

Рис. 3.1.2. Зависимость приведенной температуры от приведенного давления

Задача 3.1.19. Определить газовую постоянную смеси газов, состоящей из 1 м³ генераторного газа и 1,5 м³ воздуха, взятых при нормальных условиях, и найти парциальные давления составляющих смеси. Плотность генераторного газа ρ принять равной 1,2 кг/м³.

Ответ: R_см=295 Дж/(кг∙К); р_г.г=0,4 р_см; р_возд=0,6 р_см.

Задача 3.1.20. Имеется смесь газов под давлением 30 ат (2,94 МПа). Молярная концентрация первого газа r₁=0,4; второго r₂=0,2; третьего r₃=0,3 и четвертого r₄=0,1. Определить парциальное давление этих компонентов в смеси.

Ответ: Р₁=12 ат (1,18 МПа); Р₂=6 ат (0,59 МПа); Р₃=9 ат (0,88 МПа); Р₄=3 ат (0,29 МПа).

Задача 3.1.21. Рассчитать состав растворенного в воде при температуре 0 ⁰С газа и давлении 1 ат, состоящего из 90% метана и 10% этана.

Ответ: метана 4,91 см³; этана 0,99 см³.

Задача 3.1.21. Определить объем газа при нормальных условиях, если его объем при температуре 125 ⁰С и давление 15 ат составляет 100 м³.

Ответ: 1030 нм³.

Задача 3.1.22. Имеется газ следующего состава (в весовых процентах): метана 85%; этана 8%; пропана - 5% и н-бутана - 2%. Определить среднекритическую температуру и среднекритическое давление.

Ответ: Т_кр=-59,5 ⁰С; Р_кр=45,9 кг/см².

Первое начало термодинамики

(Закон сохранения энергии)

Теоретические основы

Первое начало, как математическое выражение закона сохранения энергии, в технической термодинамике запи­сывается в форме

, (3.1.21)

или для одного 1 кг вещества

(3.1.22)

где Q^*_1,2 — тепло, подведенное к газу со стороны или отведенное от газа. Если тепло подводится, то Q^*_1,2, q^*_1,2 имеют знак плюс, если отводится — минус; и₂-и₁ — изменение внутренней энергии (и₂–и₁) или его энтальпии (i₂–i₁); i^*_1,2, w^*_1,2 — соответственно термодинамическая и потенциальная работа, подводимая к газу извне, или совер­шаемая газом. Если работа подводится к га­зу, то она имеет знак минус, если работа совершается газом, то она имеет знак плюс.

Уравнения (3.1.21) и (3.1.22) называются уравнениями перво­го начала термодинамики по внешнему балансу тепла и работы, то есть в этих уравнениях учитывается только тепло, которое подведено извне, или отведено. Здесь не учитываются все необратимые потери, которые всегда имеют место в реальных процессах. Можно сказать, что уравнения (3.1.21) и (3.1.22) справедливы только для обратимых (идеальных) процессов, без учета каких-либо потерь в процессах.

Для реальных процессов первое начало термодинами­ки для 1 кг газа записывается в форме

(3.1.23)

где q^*_1,2 - подведенное (или отведенное) к газу извне тепло; q^**_1,2 - тепло внутреннего теплообмена, возникшее в необратимых (реальных) процессах, в частно­сти, в результате трения; q_1,2 - так называемое приведенное тепло, определя­емое как сумма внешнего (q^*_1,2) и внутренне­го (q^**_1,2) теплообмена:

(3.1.24)

Уравнение (3.1.24) называется уравнением первого начала термодинамики по балансу рабочего тела и оно справед­ливо для всех реальных процессов. Для обратимых про­цессов, когда q^**_1,2 = 0, уравнение (3.1.23) переходит в урав­нение первого начала термодинамики по внешнему ба­лансу тепла и работы (уравнения 3.1.21 – 3.1.22). Обычно за­дачи на первое начало термодинамики решают исходя из того, что все процессы обратимые (q^**_1,2 = 0). При ре­шении задач на первое начало термодинамики примени­тельно к теплосиловым установкам, работающим по тем или иным циклам, исходят также из условия полного превращения тепла в работу (для обратимых процес­сов)

(3.1.25)

Уравнение (3.1.25) непосредственно следует из уравне­ний (3.1.21) и (3.1.23) применительно к круговым процессам (цик­лам), когда

(3.1.26)

(3.1.27)

Примеры решения задач

Пример 3.1.10. В газотурбинной установке за сутки ее ра­боты на компрессорной станции сожжено 37∙10³ м³ при­родного газа, имеющего теплоту сгорания Q_HP = 46000 кДж/кг. Определить среднюю мощность газо­турбинной установки, если КПД ее составлял η_t = 23%. Плотность природного газа в данном случае равна ρ = 0,78 кг/м³.

Решение

1. Массовый расход топливного газа за сутки по газотурбинной установке равен

кг.

2. Количество тепла, превращенного газотурбинной установкой в работу, за сутки

кДж.

3. Эквивалентная этому количеству тепла работа в кВт∙ч составляет

кВт∙ч. (3.1.28)

4. Средняя мощность газотурбинной установки за сутки составит

кВт.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1.23. Газотурбинная установка ГТК-10 мощностью 10000 кВт работает с КПД, равным η_t = 0,25. Определить часовой расход топлива по установке, если теплота сгорания его равна Q_HP = 46000 кДж/кг.

Ответ: В = 3130 кг/ч.

Задача 3.1.24.При испытании поршневого двигателя для определения его мощности, двигатель затормаживают. При этом работа, произведенная двигателем, расходуется на преодоление сил трения и превращается в тепло, часть которого (~20%) рассеивается в окружающей среде, а остальная часть отводится охлаждающей тормоз водой. Сколько воды необходимо подводить к тормозу за 1 ч, если крутящий момент двигателя равен M_кр = 2000 Дж, число оборотов двигателя n = 1600 об/мин, а допустимое повышение температуры воды равно Δt=t₂-t₁=35 ^oC. Теплоемкость воды С = 4,19 кДж/кг°С.

Ответ: G=6588 кг/ч.

Задача 3.1.25.При движении природного газа по трубопроводу его параметры изменяются от t₁ = 50°С и P₁ = 5,5 МПа до t₂ = 20°C и P₂ = 3,1 МПа. Средняя молекулярная масса газа μ_m = 18. Средняя теплоемкость газа C_pm = 1,628 кДж/кг°С. Считая газ идеальным и принимая во внимание, что внешняя полезная работа на участке трубопровода равна нулю (w^*₁₂=0), определить удельную величину внешнего (q^*₁₂) и внутреннего теплообмена (q^**₁₂).

Ответ: q^*₁₂=48,8 кДж/кг; q^**₁₂=82,8 кДж/кг.

Задача 3.1.26. 2м³ воздуха при давлении 0,5 МПа и температуре 50 ⁰C смешиваются с 10 м³ воздуха при давлении 0,2 МПа и температуре 100 ⁰C. Определить давление и температуру смеси.

Ответ: t = 82 ⁰C; ρ_cм= 0,25 МПа.

Задача 3.1.27. Найти изменения внутренней энергии 2м³ воздуха, если температура его понижается от t₁ = 250 ⁰C до t₂ = 70 ⁰С. Зависимость теплоемкости от температуры принять линейной. Начальное давление воздуха ρ₁ = 0,6 МПа.

Ответ: ΔU = - 1063 кДж.

Задача 3.1.28. К газу, заключенному в цилиндре с подвижным поршнем, подводиться из вне 100 кДж теплоты. Величина произведенной работы при этом составляет 115 кДж. Определить изменение внутренней энергии газа, если количество его равно 0,8 кг.

Ответ: ΔU = - 18,2 кДж.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: