Сила статического давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда.

Теоретические основы

Из теоретической механики известно, что в общем случае система сил давления, приложенных к криволинейной поверхности, приводится к главному вектору и главному моменту сил давления. В частных слу­чаях (сфера, цилиндр с вертикальной или горизонтальной осью) силы давления приводятся только к равнодействующей (главному вектору).

Равнодействующая сил давления Р определяется из выражения

(2.1.12)

Положение в пространстве вектора силы Р задано направляющими косинусами:

cos(Р, х) = , cos(Р, у) = cos(P, z) = (2.1.13)

Примем, что ось z направлена вертикально вверх:

Горизонтальная составляющая Р_г (Р_х или Р_у ) определяется по формуле

Р_г = (р_т – р_а) s_в (2.1.14)

где s_в — площадь проекции рассматриваемой криволинейной поверх­ности на вертикальную плоскость, нормальную к соответствующей оси координат (yoz для силы Р_х, xoz для силы Р_у); р_т — абсолютное дав­ление в центре тяжести площади s_в; р_а — атмосферное давление.

Формула (2.1.14) аналогична формуле (2.1.7), используемой для слу­чая определения силы давления на плоские поверхности, где роль послед­ней исполняет вертикальная проекция криволинейной поверхности.

Направление действия силы Р_г зависит от знака величины р_т – р_а (при р_т - р_а > 0 — наружу, при р_т - р_а < 0 — вовнутрь жидкости), при­чем линия ее действия проходит через центр давления площади s_в.

Вертикальная составляющая силы Р определяется весом тела давления

Р_z = ρgV_т.д, (2.1.15)

где V_т.д — объем тела давления.

Телом давления называется объем, ограниченный рассматривае­мой криволинейной поверхностью, ее проекцией на пьезометрическую поверхность и боковой цилиндрической поверхностью, образующейся при проектировании (рис. 2.1.21).

Рис. 2.1.21. Схема сосуда с жидкостью, ограниченного криволинейными поверхностями (показаны элементарные составляющие сил давления жидкости на стенки сосуда)

Для криволинейной поверхности ABC (см. рис. 2.1.21) телом давле­ния будет фигура ABCEFA, для криволинейной поверхности ADC - ADCEFA.

Направление действия вертикальной составляющей Р_z зависит от направления элементарных составляющих этой силы.

На примере рис. 2.1.21 видно, что давление в любой точке криволиней­ных поверхностей — как ABC, так и ADC — избыточное (пьезометричес­кая плоскость лежит выше этих поверхностей). Следовательно, элемен­тарные

силы давления dP, действующие по нормали к касательной в лю­бой точке этих поверхностей, направлены наружу.

Разложение их на составляющие показывает, что вертикальная составляющая силы Р действует на поверхность ABC вверх, а на поверх­ность ADC вниз (их результирующая сила направлена вниз и равна весу реальной жидкости в объеме ABCD, являющемся результирующим объемом двух тел давления).

Линия действия вертикальной составляющей силы Р проходит через центр тяжести рассматриваемого тела давления.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила Р_А, равная по величине весу жидкости в объеме погруженной части тела V:

(2.1.16)

Выталкивающая (Архимедова) сила приложена в центре тяжести объема погруженной части тела, называемом центром водоизмещения.

Плавающее тело обладает остойчивостью (способностью возвра­щаться в состояние равновесия после получения крена) в случае, если точка пересечения линии действия выталкивающей силы с осью плава­ния (метацентр) лежит выше центра тяжести тела.

Вопросы для самопроверки

1. В чем сходство и различие формул для определения горизонталь­ной составляющей силы давления жидкости на криволинейную поверх­ность и силы давления на плоскую поверхность?

2. Что называется "телом давления"?

3. Если в нижней точке криволинейной поверхности в жидкости, находящийся над ней, вакуум, то как по отношению к этой поверхности
располагается "тело давления" и каково направление вертикальной
составляющей силы давления?

4. Если тело тонет, то куда направлена Архимедова сила?

Примеры решения задач

Пример 2.1.6. Секторный щит радиуса R и шириной В (рис. 2.1.22) перегораживает канал с жидкостью.

Определить силу давления жидкости и направление ее действия.

Решение

1. Вертикальная составляющая силы давления Р_z = ρgV_т.д, где V_т.д = πR²В/4 (пьезометрическая поверхность в этой задаче совпадает со свободной поверхностью жидкости в канале, так как на ней давление атмосферное).

Рис. 2.1.22 Рис. 2.1.23

Сила Р_z приложена в центре тяжести объема тела давления и направлена вверх, так как любая элементарная сила давления жидкости dP в любой точке щита дает при разложении вертикальную составляющую, направленную вверх.

2.Горизонтальная составляющая силы давления

Р_г = (р_т – р_а) s_в = ρg RB

направлена слева направо (все dP направлены от жидкости к стенке).

3. Результирующая сила давления жидкости

направлена по радиусу к оси щита; угол ее наклона к горизонту опреде­ляется из выражения:

cos α = P_г/P = 1/(2·0,93) = 0,538.

Следовательно, α = 57° 27'.

Пример 2.1.7. В боковой плоской стенке резервуара с реактивным топливом ( ρ = 800 кг/м³ ) имеется круглый люк диаметром d = 0,5 м, закрытый полусферической крышкой (рис. 2.1.23). Высота жидкости в резервуаре над осью люка Н = 3 м, вакуум на ее свободной поверхности р_в = 4,9 кПа.

Определить горизонтальную и вертикальную составляющие силы давления жидкости на крышку люка, а также величину их равнодейст­вующей и ее направление.

Решение

1. Найдем положение пьезометрической плоскости, необ­ходимой для определения объема тела давления. Так как на свободной поверхности жидкости — вакуум, пьезометрическая плоскость будет лежать ниже на расстоянии

м.

2. Определим вертикальную составляющую силы давления жидкос­ти на крышку.

Пьезометрическая плоскость лежит выше оси крышки на

h = H - h_п = 3 - 0,625 = 2,375 м,

следовательно, сила давления направлена наружу.

Для верхней половины крышки люка вертикальная составляющая направлена вверх, и ее величина определяется весом тела давления, заштрихованного на рис. 2.1.23 "справа вниз". Объем этого тела давления равен разности объемов полуцилиндра высотой h и четверти шара.

Для нижней половины крышки вертикальная составляющая силы давления направлена вниз. Объем тела давления для этого случая равен сумме объемов полуцилиндра и четверти шара (на рис. 2.1.23 заштриховано "слева вниз").

Результирующая вертикальная сила равна разности этих двух сил, направлена вниз, и объем ее тела давления равен объему жидкости в
крышке люка. Поэтому

P_z=ρgV_т.д = ρgπd³ = 800·9,8·0,5³ = 257 Н.

Линия действия этой силы проходит через центр тяжести объема крышки люка на расстоянии от ее основания:

м.

3.Определим горизонтальную составляющую силы давления жидкости на крышку. По формуле (2.1.14)

кН.

Сила направлена параллельно оси х, а линия ее действия лежит ниже этой оси, на

м.

4. Определим равнодействующую сил давления:

кН.

Косинус угла α между осью х и линией действия этой силы:

откуда α ≈ 4°.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.1.18. Шаровой резервуар диаметром d = 4 м целиком заполнен жидкостью плотностью ρ = 10³ кг/м³. В верхней точке жид­кости в резервуаре давление атмосферное.

Определить величины и направления сил, действующих на верхнюю и боковую полусферы.

Ответ: Р_в = 1,28 кН, вверх; Р_б = 3,85 кН, изнутри.

Задача 2.1.19. Решить задачу 2.1.18, считая, что в верхней точке жид­кости в резервуаре давление:

1) избыточное, р_и = 4,9 кПа;

2) вакуумное, р_в = 4,9 кПа.

Ответ: 1) Р_в = 5,13 кН, вверх; Р_б = 7,70 кН, изнутри; 2) Р_в = 2,57 кН, вниз; Р_б = 0.

Задача 2.1.20. Вертикальный цилиндрический резервуар (d = 2 м) закрыт вверху полусферической крышкой того же диаметра весом 19,6 кН и целиком заполнен водой. Затем в отверстие в верхней части крьшки ввернули вертикальную трубку пренебрежимо малого диамет­ра и залили в нее воду.

Определить: 1) при какой высоте воды в трубке вертикальная составляющая силы давления жидкости уравновесит вес крышки? 2) как должна измениться эта высота, если в трубке находится не вода, а керо­син (ρ_к = 810 кг/м³)?

Ответ: h_в = 0,303 м; h_к = 0374 м.

Задача 2.1.21. Цилиндрический резервуар сварен из двух полуцилинд­рических частей и целиком заполнен жидкостью (рис. 2.1.24).

Определить, при каком положении резервуара (а, б или в) растягивающие усилия, действующие на сварной шов, минимальны. Длина резервуара больше его диаметра, заливочное отверстие всегда находится в верхней его части и открыто.

Ответ: в положении б.

Рис. 2.1.24 Рис. 2.1.25

Задача 2.1.22. Определить минимально необходимую толщину стенок нефтепродуктопровода с внутренним диаметром 500 мм, если он рассчи­тан на избыточное давление 3,92 МПа. Допустимое напряжение на разрыв для металла труб принять 137 МПа.

Пояснения: 1. Убедиться, что при условиях задачи горизонтальная и вертикальная разрывающие силы практически одинаковы. 2. Толщину стенок найти из условий равенства разрывающего усилия и силы сопро­тивления металла стенок на разрыв.

Ответ: δ = 7,2 мм.

Задача 2.1.23. Коническая воронка с приставным дном пренебре­жимо малого веса погружена в жидкость (рис. 2.1.25). Вес жидкости в объеме АВCD равен Р.

Объяснить, что произойдет с дном воронки, если: 1) в воронку на­лить ту же жидкость до уровня CD; 2) на дно воронки положить груз весом Р.

Задача 2.1.24. В верхней и боковой стенках кубического резервуара прорезаны круглые люковые отверстия радиуса r, закрываемые крыш­ками. Резервуар целиком заполнен жидкостью так, что в его верхней части избыточное давление р_и > ρgr.

Определить, при какой форме крышек (плоской, полусферической или конической с высотой, равной радиусу), растягивающие усилия, действующие на болты, будут минимальными.

Задача 2.1.25. Горизонтальная цилиндрическая цистерна с полусферическими днищами целиком заполнена топливом (ρ = 800 кг/м³). Давление в верхней части цистерны, измеряемое манометром, р_м = 14,7 кПа, длина цистерны l = 5 м, ее диаметр d = 3 м (рис. 2.1.26).

Определить величины сил давления, растягивающих цистерну в сечениях А -А и В - В, и положение линий их действия.

Ответ: Р_А-А = 187 кН, ниже горизонтальной оси цистерны на 0,167 м; Р_В-В = 390 кН, через центр тяжести объема цистерны.

Задача 2.1.26. Полностью погруженный поплавок указателя уровня нефти, имеющий среднюю плотность 900 кг/м³, плавает на границе раз­дела нефти и воды, находящихся в резервуаре-отстойнике. Плотность нефти - 850 кг/м³, воды - 1000 кг/м³.

Определить, какая часть объема поплавка находится в воде?

Ответ: 1/3.

Рис. 2.1.26 Рис. 2.1.27

Задача 2.1.27. Перед подземным ремонтом газовую скважину "задавили", залив ее ствол до устья (до поверхности земли) водой (рис. 2.1.27). Затем в скважину лебедкой спустили насосно-компрессорные трубы, по которым при эксплуатации скважины поступает из пласта газ. Длина спущенных труб - 1000 м, их внешний диаметр - 73 мм, тол­щина стенок - 5,5 мм, вес одного метра длины - 93,7 Н.

Определить максимальные усилия на крюке лебедки для двух случаев: 1)нижний конец труб открыт; 2) нижний конец труб заглу­шен.

Ответ: Р_i = 82,3 кН; Р₂ = 52,7 кН.

Задача 2.1.28. Какой объем бензина (ρ = 740 кг/м³) можно залить в железнодорожную цистерну внутренним объемом 50 м³ и массой 23 т, чтобы она еще сохраняла плавучесть в пресной воде? Будет ли при плавании цистерна остойчива?

Ответ: V = 40,4м³; да.

Задача 2.1.29. В днище резервуара с жидкостью (ρ = 800 кг/м³) имеется круглое спускное отверстие (d₁ = 10 см), закрытое полусфе­рическим клапаном (рис. 2.1.28).

Рис. 2.1.28

Определить, при каком диаметре d₂ цилиндрического поплавка кла­пан автоматически откроется при достижении высоты уровня жидкости в резервуаре Н = 2 м? Длина цепочки, связывающей поплавок с клапа­ном, l = 0,95 м, вес подвижных частей устройства G = 30Н, избыточное давление на свободной поверхности жидкости р_и = 49 кПа.

Ответ: d₂ = 0,295 м.

Гидродинамика

Основные понятия кинематики и динамики жидкости

Теоретические основы

Скорость частицы жидкости зависит от координат x, y, z этой частицы и времени t, т.е.

Плотность ρ и давление p также являются функциями координат и времени:

ρ = ρ (х, y, z, t); р = р(х, у, z, t).

Если характеристики течения не зависят от времени, т.е. могут изменяться лишь от точки к точке, то течение называется установившимся. Если в данной точке пространства характеристики течения изменяются со временем, то течение называется неустановившимся.

Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Уравнения для линий тока имеют вид

(2.2.1)

где - составляющие вектора скорости .

Совокупность линий тока, проходящих через замкнутый контур L, образует трубчатую поверхность - трубку тока. Жидкость, находя­щаяся внутри трубки тока образует струйку. Если контур L мал, то трубка тока и струйка называются элементарными.

Средняя скоростьυ определяется из равенства

(2.2.6)

Уравнение неразрывности для потока несжимаемой жидкости имеет вид

(1.2.7)

где υ₁, υ₂ - средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимае­мой жидкости при установившемся движении в поле силы тяжести имеет вид

(2.2.8)

где z₁, z₂ — расстояния от центров выбранных живых сечений 1 - 1 и 2 - 2 до некоторой произвольной горизонтальной плоскости z=0 (рис. 2.2.2); υ₁, υ₂ — скорости; p₁, p₂ — давления в этих сечениях; h_1-2 — потери напора на участке между выбранными сечениями.

Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения механичес­кой энергии. Величина

(2.2.9)

называется полным напором и представляет собой удельную (прихо­дящуюся на единицу силы тяжести) механическую энергию жидкости в рассматриваемом сечении; z — геометрический напор или удельная потенциальная энергия положения; p/(ρg) - пьезометрический напор или удельная потенциальная энергия давления; u²/(2g) — скоростной напор или удельная кинетическая энергия; h_1-2 — потери напора, т.е. часть удельной механической энергии, израсходованной на работу сил трения на участке между сечениями 1-1 и 2-2 (см. рис. 2.2.2).

В случае идеальной жидкости h_1-2 = 0.

Для плавноизменяющегося потока при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести уравнение Бернул­ли имеет вид

(2.2.10)

где p₁, p₂ - давления в произвольно взятых точках сечений 1 - 1 и 2 -2 с координатами z₁ и z₂ соответственно (обычно берутся точки на оси потока); υ₁, υ₂ - средние скорости в этих сечениях; α₁, α₂ — коэффи­циенты Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения ско­ростей частиц жидкости в сечениях; при течении по круглой цилиндри­ческой трубке α=2 для ламинарного режима течения и α≈1,1 — для турбулентного; при решении практических задач обычно принимается α=1.

При использовании уравнения Бернулли (2.2.8) или (2.2.10) необходи­мо иметь в виду, что номера сечений возрастают в направлении течения жидкости. В качестве расчетных выбираются такие сечения (струйки), в которых известны какие-либо из величины υ₁, υ₂ (и₁, и₂) и р₁, р₂.

Плоскость z = 0 бывает удобно располагать таким образом, чтобы центр одного из выбранных сечений потока лежал в этой плоскости.

Потери напора h_1-2, отнесенные к единице длины трубопровода, называются гидравлическим уклоном:

(2.2.11)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: