|
|
Сила статического давления жидкости на плоскую стенкуГидростатика Давление в покоящейся жидкости Теоретические основы Распределение давления в покоящейся жидкости находится из уравнений равновесия Эйлера:
в которых, вектор Xdx + Ydy + Zdz=0 (2.1.2) Поверхность раздела между жидкой и газообразной средой называется свободной поверхностью. В однородной несжимаемой жидкости (ρ = const), находящейся в равновесии под действием силы тяжести (X = 0, Y = 0, Z = - g, ось z направлена вверх), распределение давления определяется из выражения p = p0 + ρg(z0 - z) = p0 + ρgh , (2.1.3) где р0 — давление в точках горизонтальной плоскости с координатой z0 (в качестве такой плоскости чаще всего выбирается свободная поверхность жидкости); z — координата точки, в которой определяется давление р; h = z0 -z — глубина погружения рассматриваемой точки по отношению к плоскости с координатой z0; g — ускорение свободного падения (рис. 2.1.1). Формула (2.1.3) носит название основного уравнения гидростатики. Из нее следует закон Паскаля: изменение давления в какой-либо покоящейся и продолжающей оставаться в покое точке жидкости передается одинаковым образом всем точкам этой жидкости. В совершенном газе, т.е. газе, подчиняющемся закону Клапейрона, находящемся в равновесии под действием силы тяжести, распределение давления при условии постоянства температуры по высоте (T=const) определяется барометрической формулой
где ро, ρо — соответственно абсолютное давление и плотность газа в точках горизонтальной плоскости с координатой z0.
Рис. 2.1.1. Закрытый сосуд с покоящейся жидкостью (справа показана вертикальная открытая трубка - пьезометр)
Из формулы (2.1.4) можно найти высоту:
Эта формула называется формулой барометрического нивелирования, так как позволяет определять разность высот по показаниям двух барометров. Из формул (2.1.3) и (2.1.4) следует, что поверхностями равного давления для жидкости и газа, находящихся в абсолютном покое, являются горизонтальные плоскости: z = const. Простейшим прибором для измерения давления в сосуде с жидкостью является пьезометр, представляющий собой вертикальную открытую сверху стеклянную трубку, присоединяемую к сосуду (см. рис. 2.1.1). Пьезометр измеряет избыточное давление на поверхности жидкости в сосуде; пьезометрическая высота равна:
где pа — атмосферное давление. Назовем пьезометрической поверхностью поверхность, проходящую через уровень жидкости в пьезометре, или, ту же, поверхность, на которой давление равно атмосферному. Если р0 > pа , то Δр > 0, и пьезометрическая поверхность располагается выше уровня жидкости в сосуде; если р0 < ра, тоΔр<0, и она находится ниже уровня жидкости; если р0 = ра , то пьезометрическая поверхность совпадает с поверхностью жидкости. Для измерения давления применяются следующие приборы: барометры измеряют атмосферное давление, манометры — избыточное (на рис. 2.1.5 показан жидкостный манометр), вакуумметры – вакуум; для измерения разности давления в двух точках применяются дифференциальные манометры (см. рис. 2.1.7).
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды давления вы знаете, и какими приборами они измеряются? 2. Каково численное соотношение между единицами давления "Паскаль" и "техническая атмосфера"? 3. Как запишется основное уравнение гидростатики, если известно ри на свободной поверхности жидкости, и требуется определить абсолютное давление в ниже расположенной точке? 4. Какой вид давления обязательно используется в формулах барометрической и барометрического нивелирования? 5. Где расположена пьезометрическая поверхность для открытого сосуда с жидкостью? Примеры решения задач
Пример 2.1.1. В закрытом резервуаре с нефтью плотностью ρ = 880 кг/м3 вакуумметр, установленный на его крышке, показывает рв = 1,18 · 104 Па (рис. 2.1.2).
Определить показание манометра рм, присоединенного к резервуару на глубине Н = 6 м от поверхности жидкости, и положение пьезометрической плоскости. Решение Проведем плоскость 1 - 1 на уровне присоединения манометра. В этой плоскости абсолютное давление в соответствии с основным уравнением гидростатики (2.1.3) равно:
р1-1 = р0 + ρgH, где р0 — абсолютное давление на поверхности, равное ра — рв.
Тогда р1-1 = ра — рв + ρgH. С другой стороны, так как манометр измеряет избыточное давление (рм=ри), то р1-1 = ра + рм . Приравняв два выражения для р1-1, найдем рм: рм = - рв + ρgH = - 1,18·104 + 880·9,8·6 = 3,99·104 Па. Так как на поверхности жидкости давление меньше атмосферного, то пьезометрическая высота отрицательна:
и пьезометрическая плоскость расположена ниже поверхности жидкости на расстоянии 1,37 м. Пример 2.1.2. Найти избыточное давление в сосуде А с водой по показаниям многоступенчатого двухжидкостного ртутного манометра (рис. 2.1.3): h1 = 82 см; h2 = 39 см; h3 = 54 см; h4 = 41 см; h5 = 100 см; ρв=103кг/м3; ρр=1,36·104 кг/м3.
Решение Так как жидкость находится в равновесии, то давления в точке 1 и в точке 2 равны как давления в точках одного и того же объема однородной покоящейся жидкости, расположенных на одной горизонтали, т.е. р1 = р2. На том же основании р3 = р4, р5 = р6 . В то же время избыточное давление
Исключив из этих соотношений промежуточные давления p2, p4, p6, получим: рА = ρрg[(h1 – h2) + (h3 – h4 )] — ρвg[(h3 - h2 ) + (h5 - h4)] = =1,36·104·9,8 (0,43+0,13) - 103·9,8 (0,15 + 0,59) = 67,4 кПа. Пример 2.1.3. Определить давление на забое закрытой газовой скважины (рис. 2.1.4.), если глубина скважины Н = 2200 м, манометрическое давление на устье рм = 10,7 МПа, плотность природного газа при атмосферном давлении и температуре в скважине (считаемой неизменной по высоте) ρ = 0,76 кг/м3, атмосферное давление ра = 98 кПа. Решение
Для определения давления на забое газовой скважины воспользуемся барометрической формулой (2.1.4.)
В нашей задаче р0 – абсолютное давление газа на устье скважины р0 = ра + рм = 9,8 · 103 + 10,7 · 106 = = 10,8 · 106 Па; ρ0 – плотность при давлении р0, а z0 – z = 2200 м. Из уравнения состояния газа следует, что
а показатель степени:
Тогда р = 10,8 · 106 · е 0,167 = 12,8 МПа.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.1.1.Определить избыточное давление ри на поверхности жидкости в резервуаре и пьезометрическую высоту hп (рис. 2.1.5), если высота Н = 0,6 м, а показания ртутного манометра h = 80 мм. Плотность жидкости ρ=800кг/м3, плотность ртути ρр =13600 кг/м3.
Рис. 2.1.5. Рис. 2.1.6. Задача 2.1.2. В закрытом сосуде хранится жидкость плотностью ρ=850кг/м3. Давление в сосуде измеряется ртутным манометром (рис. 1.1.6); в открытом конце манометрической трубки над ртутью имеется столб воды высотой h1 = 15см. Высоты h2 = 23см, h3 = 35 см. Найти абсолютное давление на поверхности жидкости в сосуде р, если барометрическое давление соответствует 742 мм рт. ст.
Ответ: р = 6,85 · 104 Па.
Рис. 2.1.5. Рис. 2.1.6. Задача 2.1.3.Определить разность давлений в сечениях 1 и 2 горизонтального водопровода по разности высот жидкости в трубках ртутного дифференциального манометра h = 150 мм (рис 1.1.7). Ответ: Δр = 18,5 кПа. Задача 2.1.4. В какой из точек, расположенных на одной горизонтали - А или В (см. рис. 2.1.5), — давление выше? Ответ: рА = рВ Задача 2.1.5. Избыточное давление в нефтяном пласте составляет 4,9 МПа. Можно ли предотвратить выброс нефти из скважины, заполнив ее глинистым раствором плотностью ρ = 1200 кг/м3? Глубина скважины H = 460 м. Ответ: можно. Задача 2.1.6. Сможет ли насос откачивать бензин плотностью ρ=750кг/м3 из закрытого резервуара, поверхность которого расположена на 8 м ниже оси насоса (рис. 2.1.8), если на всасывающем патрубке насоса абсолютное давление не может быть меньше чем 5,5·104 Па, а избыточное давление на поверхности резервуара ри = 104 Па. Принять ра = 105 Па. Ответ: не сможет. Задача 2.1.7. На рис. 2.1.9 приведен вертикальный разрез газонефте-водоносного пласта, имеющего выход на земную поверхность в точке А. Найти абсолютное давление в газовой шапке, если H = 2500 м, h1= 800 м, h2 = 300 м, плотность минерализованной воды ρв = 1020 кг/м3, плотность нефти ρн = 850 кг/м3, атмосферному давлению соответствует 740 мм рт. ст.
Ответ: р = 14,6 МПа. Рис. 2.1.9 Рис. 2.1.10.
Задача 2.1.8. В закрытом цилиндрическом отстойнике уровень воды составляет а = 0,25 м, уровень нефти b = 0,8 м (рис. 2.1.10). Плотность воды ρв = 1000 кг/м3, плотность нефти ρн = 880 кг/м3. Определить уровни h1 и h2 , если абсолютное давление на поверхности нефти р0 = 1,08·105 Па, атмосферному давлению соответствует hб = 735 мм рт. ст. Ответ: h1 = 1,96 м; h2 = 2,20 м. Задача 2.1.9. Барометр, установленный у подножия холма, показывает давление 760 мм рт. ст., на вершине холма — 720 мм рт. ст. Определить высоту холма, считая температуру воздуха одинаковой и равной 10 °С. Газовая постоянная для воздуха R = 287 Дж/(кг·К). Ответ: Н = 448 м. Задача 2.1.10. Определить, на какой высоте Н от уровня моря давление воздуха составит 690 мм рт. ст. Температуру воздуха считать постоянной и равной 20 °С. Давление воздуха на уровне моря принять соответствующим 760 мм рт. ст. Ответ: Н = 829 м. Сила статического давления жидкости на плоскую стенку Теоретические основы Если на плоскую стенку АВ (рис 2.1.11.), наклоненную под углом α к горизонту, с одной стороны действует жидкость, а с другой — атмосферное давление, то скалярная величина равнодействующей сил давления, воспринимаемая стенкой: Р = (рт - pa)s = (Δр + pghт) = pg(hт + hп)s, (2.1.7) где рт — абсолютное давление в центре тяжести смоченной части стенки (точка Т на рис. 2.1.11); ра — атмосферное давление; s — площадь смоченной части стенки; Δр = p0 - ра = pghп — разность между абсолютным давлением р0 на свободной поверхности жидкости и атмосферным давлением; hт — расстояние по вертикали от центра тяжести смоченной части стенки до свободной поверхности жидкости; hп — расстояние по вертикали от свободной поверхности до пьезометрической плоскости (hт>0; hп>0 или hп<0).
Рис. 2.1.11. Наклонная плоская стенка АВ, на которую действует жидкость, находящаяся в закрытом резервуаре, с силой Р
Точка пересечения линии действия силы Положение центра давления относительно пьезометрической плоскости определяется выражением
где lD и lт — соответственно расстояния до центра давления и тяжести, отсчитываемые вдоль плоскости стенки от линии пересечения ее с пьезометрической плоскостью (см. рис. 2.1.11); J — момент инерции площади смоченной части стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через ее центр тяжести. Расстояние между центром давления и центром тяжести равно
где lт можно найти по формуле (см. рис. 2.1.11) lт = (hп+ hт) /sin α. (2.1.10) Возможны три варианта положения центра давления относительно центра тяжести: 1) при hп + hт > 0 центр давления лежит ниже центра тяжести, а сила Р действует на стенку со стороны жидкости; 2) при hп + hт < 0 (вакуум в центре тяжести) центр давления лежит выше центра тяжести, а сила Р действует со стороны несмоченной поверхности стенки; 3) при hп + hт = 0 сила Р = 0, поэтому понятие центра давления Если ось l является осью симметрии стенки, то центр давления (точка D) лежит на этой оси. Для несимметричных стенок нужно найти горизонтальное смещение центра давления Δх', определяемое по формуле
где
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется равнодействующая сил давления на твердую поверхность и что понимается под символом рт? 2. Может ли равнодействующая сил давления действовать с внешней стороны твердой поверхности, где жидкости нет? 3. Что такое центр давления? 4. Может ли центр давления располагаться выше центра тяжести смоченной части плоской поверхности?
Примеры решения задач
Пример 2.1.4. Вертикальная стенка (рис. 2.1.12) длиной l =3 м (в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа), шириной b = 0,7 м и высотой H0 = 2,5 м разделяет бассейн с водой на две части. В левой части поддерживается уровень воды H1 = 2 м, в правой — Н2 = 0,8 м. Найти величину опрокидывающего момента, действующего на стенку, а также определить, будет ли стенка устойчива против опрокидывания, если плотность материала стенки ρст = 2500 кг/м3. Решение Найдем силу давления воды на стенку слева. Так как на поверхности давление атмосферное, то пьезометрическая плоскость совпадает с поверхностью жидкости
Рис. 2.1.12. рт – ра = pg Р1 = pg Координата центра давления lD1 = lт + J/lт s. Для прямоугольной стенки J =
Точно так же справа:
Опрокидывающий момент, т.е. момент сил давления жидкости относительно точки О (см. рис. 2.1.12):
Устойчивость против опрокидывания сообщает стенке момент силы тяжести относительно точки О:
Так как Мтяж > Мопр, то стенка устойчива. Пример 2.1.5. Для слива жидкости из бензохранилищ имеется квадратный патрубок со стороной h = 0,3 м, закрытый крышкой, шарнирно закрепленной в точке О. Крышка опирается на торец патрубка и
расположена под углом 45° (α = 45°) к горизонту (рис. 2.1.13). Определить (без учета трения в шарнире О и рамке В) силу F натяжения троса, необходимую для открытия крышки АО, если уровень бензина Н = 3 м, давление над ним, измеренное манометром, рм = 5 кПа, а плотность бензина ρ = 700 кг/м3 . Вес крышки не учитывать.
Рис. 2.1.13. Решение Найдем силу давления на стенку АО. Рассматриваемой смоченной поверхностью является прямоугольная наклонная стенка высотой h/sin α ишириной h, т.е. s = h 2/sin α. Центр тяжести этой стенки находится на глубине h т = H - h/2, Δр = рм, т.е.
Найдем теперь расстояние между центром давления и центром тяжести крышки. По формуле (2.1.6)
Тогда
Момент инерции прямоугольной стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести стенки:
Тогда
Найдем силу натяжения троса из уравнения моментов сил, взятых относительно оси шарнира О:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.1.11. Найти силу давления воды на дно сосуда диаметром D=1м (рис. 2.1.14), если глубина Н = 0,7 м, вес поршня G = 300 Н, d = 0,5 м.
Ответ: 6,59 кН. Рис. 2.1.14 Рис. 2.1.15 Задача 2.1.12. Вертикальный щит А (рис. 2.1.15), перекрывающий водослив плотины, может перемещаться в пазах В вверх и вниз. Глубина жидкости Н = 1,4 м, ширина щита b = 2,6 м. Какую силу нужно приложить, чтобы поднять щит, если вес его G = 32 кН, а коэффициент трения между щитом и поверхностью пазов f = 0,3. Ответ: F = 39,5 кН. Задача 2.1.13. Наклонный прямоугольный щит плотины шарнирно закреплен на оси О (рис. 2.1.16). При каком уровне воды Н щит опрокинется, если угол наклона щита α = 60°, а расстояние от его нижней кромки до оси шарнира а = 1,3 м. Вес щита не учитывать. Ответ: Н = 3,38м. Задача 2.1.14. Определить силу давления жидкости на торцевую плоскую стенку горизонтальной цилиндрической цистерны (рис. 2.1.17) диаметром d = 2,4 м, заполненной бензином плотностью ρ = 760 кг/м3, если уровень бензина в горловине находится на расстоянии Н = 2,7 м от дна. Цистерна герметично закрыта и избыточное давление на поверхности жидкости составляет 40 кПа. Найти также положение центра давления относительно центра тяжести стенки.
Ответ: Р = 231 кН, Δl = 0,052 м. Рис. 2.1.16 Рис. 2.1.17
Задача 2.1.15. Резервуар заполнен нефтью плотностью ρ = 850 кг/м3 до высоты H = 4 м (рис. 2.1.18). Избыточное давление на поверхности ри = 14,7 кПа. Определить реакции шарнира А и стяжного болта В крышки люка, если диаметр патрубка d = 1 м, и его центр расположен на расстоянии Н = 1,5 м от дна резервуара; а = 0,7 м и b = 0,8 м. Вес крышкине учитывать.
Ответ: ra = 14,6 кН, rb = 13,3 кН. Рис. 2.1.18. Рис. 2.1.19.
Задача 2.1.16. Закрытый резервуар высотой Н = 10 м (рис. 2.1.19) разделен на два отсека вертикальной прямоугольной перегородкой шириной b = 4 м. В левом отсеке уровень нефти Н1 =8 м (ρ = 850 кг/м3), в правом уровень воды Н2 = 5 м (ρ = 1000 кг/м3). Избыточное давление паров над нефтью ри1 = =19,6 кПа. Определить равнодействующую сил давления на перегородку и точку ее приложения. Указание. В левом отсеке, кроме силы давления нефти и паров, на смоченную часть перегородки, нужно учесть силу давления паров на несмоченную часть стенки. Ответ: Р = 136·104 Н; расстояние от точки О до точки приложения равнодействующей Р равно а = 4,46 м; сила Р действует со стороны левого отсека. Задача 2.1.17. Квадратное отверстие со стороной а = 0,6 м в стенке резервуара с водой (рис. 2.1.20) закрыто щитом ОА, который прижимается грузом G, подвешенным на рычаге длиной х = 0,5 м.
Расстояние от верхней кромки отверстия до оси вращения О h = 0,3 м. 1. Найти минимальный вес груза G, достаточный для удержания воды в резервуаре на уровне Н = 2 м, если избыточное давление на поверхности ри= = 5 кПа. 2. Будет ли удерживаться щит без груза, если над водой создать Найти в этом случае положение пьезометрической плоскости, силу давления на щит и положение центра давления. Весом щита, рычага, а также трением в шарнире пренебречь. Ответ: 1. G = 9,57 кН. 2. Щит будет удерживаться, так как сила Р = 1,06 кН, направлена внутрь резервуара. Пьезометрическая плоскость проходит по дну резервуара. Центр давления расположен на расстоянии 2а/3 = 0,4 м от дна резервуара.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
или dp = ρ (Xdx + Ydy + Zdz), (2.1.1)
, с компонентами (X, Y, Z) называется плотностью массовых сил или напряжением массовых сил (массовая сила, рассчитанная на единицу массы; размерность — ускорение). Дифференциальное уравнение поверхности равного давления (изобарической поверхности), имеет вид:
(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.6)
м,
с2/м2,
Ответ: ри =5,96 кПа; hп = 0,76 м.
с плоскостью стенки называется центром давления (точка D на рис. 2.1.11).
(2.1.8)
(2.1.9)
( 2.1.11)
— центробежный момент инерции смоченной площади относительно осей х' и l' (ось l' совпадает по направлению с осью l, но ее начало отсчета лежит в точке Т).
,
lН1= 103·9,8·2/(2·3·2)=58,8·103 Н = 58,8 кН.
, тогда
м.
кН,
м.
Н·м.
Н·м.
кН.
м.
м.
м.
кН.
