Графическое вычисление результирующей амплитуды

Дифракция света

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями, размеры которых сравнимы с длиной волны(края экранов, малые отверстия и т.д.). Как правило, эти явления связаны с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция приводит к "огибанию" световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени.

Огибание препятствий звуковыми волнами (дифракция звуковых волн) наблюдается нами постоянно (например, мы слышим звук за углом дома). Для наблюдения дифракции световых волн нужны особые условия. Это связано с их малой длиной волны.

Между интерференцией и дифракцией нет принципиального физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. Исторически принято интерференцией называть такое перераспределение интенсивности, которое возникает в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников. Если же складываются волны от непрерывно распределенных когерентных источников – это явление называют дифракцией. Поэтому говорят, например, об интерференционной картине от двух узких щелей и о дифракционной картине от одной щели.

Дифракцию обычно наблюдают, используя следующую схему. На пути световой волны помещают непрозрачную преграду, поглощающую часть волны. За преградой располагают экран, на котором при определенных условиях возникает дифракционная картина в виде системы максимумов и минимумов освещенности. Исследование распределения интенсивности света на экране и является в большинстве случаев основной задачей изучения дифракции, поскольку при этом может быть получена обширная информация о свойствах световой волны.

Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку наблюдения, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. Во всех остальных случаях (если лучи сходящиеся, а фронт волны сферический) говорят о дифракции Френеля. Критерий, позволяющий определить, с каким видом дифракции – Френеля или Фраунгофера – мы будем иметь дело в каждом конкретном случае, будет дан ниже.

Первое объяснение дифракции света принадлежит французскому физику Огюстену Жану Френелю (1788 – 1827). Он показал, что рассчитать суперпозицию волн от бесчисленного числа когерентных источников трудно и количественное описание дифракционных явлений возможно на основе построений нидерландского ученого Христиана Гюйгенса (1629 – 1695), если их дополнить принципом интерференции вторичных волн. Рассмотрим приближенный метод решения задачи о распределении интенсивности света, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля

Решающую роль в утверждении волновой природы света сыграл О. Френель в начале 19 века. Он объяснил явление дифракции и дал метод её количественного расчёта.

При рассмотрении дифракции Френель исходил из нескольких основных положений, принимаемых без доказательства. Совокупность этих утверждений и называется принципом Гюйгенса-Френеля.

1. Принцип Гюйгенса: каждую точку фронта волны можно рассматривать как источник вторичных волн.

Френель развил этот принцип.

2. Все вторичные источники фронта волны, исходящие из одного источника, когерентны между собой.

3. Равные по площади участки волновой поверхности излучают равные интенсивности (мощности).

4. Каждый вторичный источник излучает свет преимущественно в направлении внешней нормали ( ) к волновой поверхности в этой точке. Амплитуда вторичных волн, распространяющихся в направлении угла a к внешней нормали, тем меньше, чем больше угол a, и равна нулю при a³ p/2.

5. Для вторичных источников справедлив принцип суперпозиции волн. Если часть волновой поверхности закрыть непрозрачным экраном, то вторичные волны будут излучаться открытыми участками так, если бы экрана не было. Излучение одних участков волновой поверхности не влияет на излучение других.

В соответствии с принципом Гюйгенса – Френелякаждый элемент волновой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента . Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием от источника по закону . Следовательно, от каждого участка волновой поверхности в точку , лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

,

где – множитель, зависящий от амплитуды световой волны в месте нахождения элемента , – волновое число ( ). Коэффициент зависит от угла между нормалью к элементу и направлением от к точке . Коэффициент монотонно убывает с ростом . При этот коэффициент максимален.

Результирующее колебание в точке определяется суперпозицией колебаний от всех элементов волновой поверхности :

Этот интеграл представляет собой математическую формулировку принципа Гюйгенса – Френеля. Итак, суть принципа Гюйгенса – Френеля состоит в следующем.

Для определения колебания в точке , лежащей перед некоторой поверхностью , надо найти колебания, приходящие в эту точку от всех элементов поверхности и затем сложить их с учетом амплитуд и фаз.

Поскольку источниками (фиктивными) вторичных волн служат бесконечно малые элементы выбранной волновой поверхности, все фиктивные источники действуют синфазно. Тогда возбуждаемая световая волна может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых фиктивными источниками. Таким образом, для определения в некоторой точке пространства результирующей интенсивности, надо учесть интерференцию всех вторичных волн.

Принцип Гюйгенса-Френеля является основным постулатом волновой теории, описывающим и объясняющим механизм распространения волн, в частности, световых.

Суммировать (интегрировать) амплитуды элементарных колебаний, приходящих в точку , в общем случае сложно. Однако, как показал Френель, в простейших случаях, при наличии симметрии, нахождение амплитуды результирующих колебаний могут быть найдены простым алгебраическим или арифметическим суммированием. Рассмотрим суть метода, разработанного Френелем.

Метод зон Френеля

Суммирование амплитуд колебаний, приходящих от различных элементов волновой поверхности , Френель предложил делать с помощью разбиения поверхности на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

Пользуясь методом Френеля, определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке сферической волной, распространяющейся в однородной изотропной среде из точечного источника . Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой . Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки отличались друг от друга на половину длины волны . Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля. Введем обозначения: - расстояние от источника до вершины рассматриваемой волновой поверхности; - расстояние от вершины волновой поверхности до точки .

Вычислим площади зон. При достаточно малых площадь - ой зоны можно вычислить как

,

где - внешний радиус - ой зоны Френеля; - внешний радиус - ой зоны Френеля.

Найдем радиус соответствующей зоны. Воспользуемся рисунком, на котором изображено сечение фронта волны. Из рисунка видно, что

или .

Здесь - радиус волновой поверхности. Объединим эти два выражения и возведем скобки в квадрат:

Из этого выражения получим:

.

Поскольку мы ограничились рассмотрением малых , то можно пренебречь слагаемым с и упростить полученное выражение:

.

Теперь можно определить :

= . При малых высота сегмента , тогда , или

.

Площадь - ой зоны равна:

= =

Полученное выражение не зависит от . Это значит, что при малых площади зон Френеля примерно одинаковы.

Расстояние от внешнего края -ой зоны до точки равно и медленно растет с номером зоны. Поскольку волна сферическая, то ее амплитуда зависит от . В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол между нормалью к волновой поверхности и точкой наблюдения , следовательно, интенсивность излучения в направлении точки также уменьшается. Следовательно, амплитуда колебания, возбуждаемого -ой зоной в точке , монотонно убывает с ростом . Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых зонами Френеля в точке , образуют монотонно убывающую последовательность

Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращённой в сторону точки , очень велико. При a = b =10 см, l = 500 нм, число зон Френеля N » 3×10⁵, а радиус первой зоны r₁ = 0,16 мм. Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку у соседних зон примерно равны. Таким образом, амплитуды волн, приходящих в точку от соседних зон, примерно равны.

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, различаются на . Таким образом, амплитуда результирующего колебания в точке может быть представлена в виде:

Все амплитуды от нечетных зон входят в это выражение с одним знаком, а от четных – с другим.

Это выражение можно представить в следующем виде.

Как мы уже выяснили выше, амплитуды колебаний от соседних зон, приходящие в точку , примерно одинаковы, поэтому выражения в скобках равны нулю. И в итоге имеем.

.

Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны. Приведенные выше оценки показывают, что радиус первой зоны Френеля очень мал. Это означает, что распространение света от к происходит так, как будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль , т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса – Френеля объясняет прямолинейное распространение света в однородной среде.

Из принципа Гюйгенса – Френеля следует еще несколько парадоксальных выводов. При полностью открытом волновом фронте результирующая амплитуда в точке приблизительно равна половине амплитуды волны, создаваемой в этой точке только первой зоной. Или для амплитуды . Если на пути монохроматического света от точечного источника поместить экран, закрывающий все зоны, кроме первой, то амплитуда в точке увеличится по сравнению с полностью открытым волновым фронтом в два раза , а интенсивность в четыре раза . В точке будет наблюдаться максимум. Особенно неожиданным представляется вывод о том, что при отверстии в преграде, открывающем для точки две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля , хотя общий световой поток оказывается в два раза больше. В этом случае в точке наблюдения будет наблюдаться минимум.

Зонная пластинка

Колебания от чётных и нечётных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если на пути световой волны поставить пластинку, которая перекрывала бы все чётные или все нечётные зоны, то интенсивность света в точке наблюдения резко возрастает . Такая пластинка называется зонной пластинкой (амплитудная зонная пластинка) и действует подобно собирающей линзе. Зонная пластинка, содержащая n открытых зон, создаёт в точке интенсивность приблизительно в n² раз большую, чем интенсивность, создаваемая одной первой зоной Френеля.

Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы. Расстояние от зонной пластинки до источника и его "изображения" связаны таким же соотношением, как и соответствующие расстояния для линзы. Для этого необходимо переписать формулу для радиуса зоны Френеля в следующем виде.

Выражение в правой части можно рассматривать как 1/f, где f – фокусное расстояние. Но в отличие от линзы, зонная пластинка – система не таутохронная (требующими для своего прохождения одинакового времени), поэтому колебания, приходящие в фокус от соседних открытых зон, отличаются по фазе на 2p (разность хода l). Кроме этого фокуса (основного), зонная пластинка имеет и другие фокусы, в которые колебания от соседних открытых зон приходят с разностью хода 2l , 3l и т.д. Эти другие фокусы оказываются более слабыми по сравнению с основным.

На рисунке изображена зонная пластинка, перекрывающая чётные зоны. Ещё большего эффекта можно достичь, не перекрывая чётные (или нечётные) зоны, а, изменяя фазу их колебаний на p. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих чётным или нечётным зонам, на надлежащем образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой фазовая зонная пластинка даёт дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности света – в четыре раза.

Графическое вычисление результирующей амплитуды

(метод векторных диаграмм или спираль Френеля)

Это удобный метод сложения колебаний, обладающих некоторой разностью фаз. Разобьём волновую поверхность на кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине (разность хода от краёв этой зоны до точки наблюдения составляет одинаковую для всех этих зон малую долю длины волны l). Колебание, создаваемое в точке каждой из этих зон, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчёта, даёт начальную фазу колебаний (вспомним метод векторных диаграмм, который рассматривался в колебаниях). Амплитуда колебаний, создаваемых такими зонами в точке , медленно убывает при переходе от зоны к зоне. Каждое следующее колебание отстаёт от предыдущего по фазе на одну и ту же величину. Следовательно, векторная диаграмма, получающаяся при сложении колебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид, показанный на рисунке.

Если бы амплитуды, создаваемые отдельными зонами, были одинаковыми, то конец последнего изображённого на рисунке векторов совпал бы с началом первого вектора. В действительности значение амплитуды, хотя и очень слабо, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломаную спиралевидную линию.

В пределе при стремлении ширины кольцевых зон к нулю (количество их при этом будет неограниченно возрастать) векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к точке C. Фазы колебаний в точках O и 1 различаются на p (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Следовательно, участок O – 1 соответствует первой зоне Френеля. Вектор, проведённый из точки O в точку 1 (рис. a), изображает колебание, возбуждаемое в точке наблюдения первой зоной Френеля. Аналогично вектор, проведённый из точки 1 в точку 2 (рис. b), изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Френеля. Колебания от первой и второй зон Френеля в точке наблюдения находятся в противофазе. Следовательно, вектора O-1 и 1-2 направлены в противоположные стороны.

Колебание, возбуждаемое в точке всей волновой поверхностью, изображается вектором OC (рис. с). Из рисунка видно, что амплитуда в этом случае равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной. Этот результат мы получили ранее алгебраически ( ). Заметим, что колебание, возбуждаемое внутренней половиной первой зоны Френеля, изображается вектором OB (рис. d). Таким образом, действие внутренней половины первой зоны Френеля

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: