Свойства отношения равномощности.
1) А~А- рефлексивность.
2) А~В, то В~А – симметричность.
3) А~В и В~С, то А~С – транзитивность.
Примеры.
1) n→2n, 2,4,6,… - четные натуральные
2) n→2n-1, 1,3,5,…- нечетные натуральные.
Свойства счетных множеств.
1. Бесконечные подмножества счетного множества счетны.
Доказательство. Т.к. А – счетно, то А: х1,х2,… - отобразили А в N.
ВÌА, В: →1, →2,… - поставили каждому элементу В в соответствие натуральное число, т.е. отобразили В в N. Следовательно В – счетно. Ч.т.д.
2. Объединение конечной (счетной) системы счетных множеств – счетно.
Примеры.
1. Множество целых чисел Z – счетно, т.к. множество Z можно представить как объединение счетных множеств А и В, где А: 0,1,2,.. и В: -1,-2,-3,…
2. Множество упорядоченных пар {(m,n): m,nÎZ} (т.е. (1,3)≠(3,1)).
3 (!). Множество рациональных чисел – счетно.
Q= . Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством несократимых дробей Q и множеством упорядоченных пар:
. Т.о. множество Q равномощно множеству {(p,q)}Ì{(m,n)}.
Множество {(m,n)} – множество всех упорядоченных пар – счетно. Следовательно и множество {(p,q)} – счетно, а значит и Q – счетно.
Определение. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная десятичная непериодическая дробь, т.е. g0,g1g2…
Множество всех десятичных дробей образуют множество вещественных (действительных) чисел.
Множество иррациональных чисел – несчетно.
Теорема 1. Множество вещественных чисел из промежутка (0,1) – несчетное множество.
Доказательство. Допустим противное, т.е. что все числа интервала (0,1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бесконечных десятичных дробей, получим последовательность:
х1=0,а11а12…a1n…
x2=0,a21a22…a2n…
…………………..
xn=0,an1an2…ann…
……………………
Рассмотрим теперь вещественное число х=0,b1b2…bn…, где b1- любая цифра, отличная от а11, (0 и 9), b2 - любая цифра, отличная от а22, (0 и 9),…, bn - любая цифра, отличная от ann, (0 и 9).
Т.о. хÎ(0,1), но х¹xi (i=1,…,n) т.к. в противном случае, bi=aii. Пришли к противоречию. Ч.т.д.
Теорема 2. Любой промежуток вещественной оси является несчетным множеством.
Теорема 3.Множество действительных (вещественных) чисел – несчетно.
Про всякое множество, равномощное множеству вещественных чисел говорят, что оно мощности континуума(лат. continuum – непрерывное, сплошное).
Пример. Покажем, что интервал обладает мощностью континуума.
Функция у=tg x: →R отображает интервал на всю числовую прямую (график).
Свойство полноты множества вещественных чисел.
Теорема (свойство полноты множества вещественных чисел). Пусть А и В непустые подмножества множества вещественных чисел, обладающие следующим свойством:
хÎА и уÎВ х£у, тогда существует такое действительное число с, что х£с£у.
хÎА и уÎВ: х£у с R: х£с£у.
Замечание. Множество рациональных чисел не обладает свойством полноты.
Пример. Покажем, опираясь на эту теорему, что на множестве действительных чисел уравнение х2=2 имеет решение.
Рассмотрим множества А={x>0: x2<2} и B={y>0: y2>2}
Допустим, что х>yÞт.к. x,y>0, то x2>y2Þx2>2 – получили противоречие.
Следовательно, по свойству полноты, $сÎR: "xÎA и "yÎB Þx£c£y.
Покажем, что сÏА, т.е. условие с2<2 не выполняется.
Допустим, что с2<2. Тогда взяв достаточно большое n <2, т.е.
с2+2с + <2Û2с + <2-с2
Тогда с+ ÎА, что противоречит тому, что x£c£y.
Аналогично, через (с- ) показывается, что сÏВ, т.е. не выполняется с2>2.
Следовательно, с2=2.
Плотность множества рациональных чисел в R.
Теорема.Между любыми вещественными числами находится бесконечное множество рациональных чисел. (Т.е. множество Q всюду плотно в R).
Доказательство. Возьмем числа a b (b>0) a<b, a,bÎR. Представим число b в виде бесконечной десятичной дроби:b=b0,b1b2…
Построим приближения: b1=b0,b1, b2=b0,b1b2,…,bk=b0,b1b2…bk и т.д.
Получим бесконечное множество рациональных чисел.
Тогда, т.к. b>0, то все bk<b.
Если из b вычесть bk, то b-bk=0, bk+1bk+2 – эта разность будет сколь угодно мала.
Следовательно, $k0: "k³k0 b-bk<b-aÞbk>a, т.е. a<bk<b "k³k0
Т.е. между числами а и b – множество рациональных чисел.
Если b£0, то рассматриваются –b и –а. ч.т.д.
Промежутки числовой прямой.
Рассмотрим подмножества R.
a и b могут быть равны .
Модуль числа.
Определение. Модулем числа а называется расстояние от начала вещественной оси (0) до точки, изображающей а.
Свойства модуля.
1)
2)
3)
4) a£½a½
5) ½-a½=½a½
6) ½a+b½£½a½+½b½ (½a1+a2+…+an½£½a1½+½a2½+…+½an½)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|