Счетные и несчетные множества.

Свойства прообразов и образов

• ;
• ;
• ;
• . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Обратная функция.

Определение.Пусть функция f:A→B.

1) Если для любых двух различных элементов х₁ и х₂ из А их образы у₁=f(x₁) и у₂=f(x₂) также различны,

х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂) (f(x₁)=f(x₂) x₁=x₂).то отображение f называется инъекцией.

Отображение называется инъекцией (или вложением, или отображением в Y), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y. Т.е. если х₁¹х₂Þf(x₁)¹f(x₂).

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы ( ). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).

(Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, т.е. инъективно, если существует такое, что .)

Примеры

1. — инъективно.

2. — инъективно.

3. — не является инъективным (F( - 2) = F(2) = 4).

2) Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, т. е. .

Т.е. если f(X)=Y или такое, что y=f(x), то отображение f действует на Y (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.

В общем случае, т.е. когда f(X)ÌY, говорят, что f есть отображение X «в» Y.

Эквивалентные определения

Следующие свойства отображения эквивалентны:

1. F сюръективно

2. каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз во множестве X при отображении F.

3. образ множества X при отображении F(X) совпадает с Y

4. F имеет правое обратное отображение, т.е. такое отображение , что F(G(y)) = y для любого .

Примеры

1. — сюръективно.

2. — сюръективно.

3. — не является сюръективным.

Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называетсябиекциейиливзаимно однозначнымсоответствием между А и В.

В этом случае множества А и В находятся во взаимно однозначном соответствии.

Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,

o .

2. Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,

o .

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением.

(Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.)

Примеры

· ( — функция, сохраняющая все элементы множества X, биективна на этом множестве.)

· — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.

· f(x) = e^x — биективная функция в . Но если её рассматривать как функцию в , то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательных чисел не будет прообразов).

· f(x) = sinx не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .

· Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что и .

· Если функции f и g биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.

Можно определить новую функцию:

f^-1:B→A, x=f^-1(y) – обратная функция, относительно f.

Примеры.

1) f(x)=e^x (график)

f:(-∞;+∞)→(0;+∞) f^-1: (0;+∞)→(-∞;+∞)

e^x=y x=ln y. f^-1=ln x

2) y=x² (график)

f:(-∞;+∞)→[0;+∞)

Функция не является (не является инъекцией) взаимно однозначной.

Рассмотрим только одну ветвь f: [0;+∞)→[0;+∞)

x²=y x= f^-1(x)=

Любая строго монотонная функция имеет обратную (т.к. является взаимно однозначной).

Суперпозиция функций (сложная функция).

Пусть есть 2 функции:

¦: A→B и g: D→F

Пусть область определения D функции g входит в область значений функции f (DÌB). Тогда можно определить новую функцию – суперпозицию (композицию, сложную функцию) функций f и g: z=g(¦(x)).

Примеры.f(x)=x², g(x)=e^x. f:R→R, g:R→R.

¦(g(x))=e^2x, g(¦(x))= .

Определение

Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

.

Свойства композиции

· Композиция ассоциативна:

.

· Если F = id_X — тождественное отображение на X, то есть

,

то

.

· Если G = id_Y — тождественное отображение на Y, то есть

,

то

.

· Рассмотрим пространство всех биекций множества X на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. id_X является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.

· Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .

Дополнительные свойства

· Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть — топологические пространства. Пусть и две функции, . Тогда .

· Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть . Тогда , и

.

Счетные и несчетные множества.

Два конечных множества состоят из равного числа элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов конечного множества – мощность множества.

Для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его частью.

Самым простым из бесконечных множеств является множество N.

Определение. Множества А и В называются эквивалентными(А~В), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов.

Если же эквивалентные между собой множества А и В произвольны , то говорят, что А и В имеют одинаковуюмощность. (мощность = эквивалентность).

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества.

Определение. Множество называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. (Т.е. счетное множество – бесконечное, эквивалентное множеству N).

(Т.е. все элементы счетного множества можно занумеровать).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: