Временные характеристики работ

Работа (i,j)	t(i,j)	t_pн	t_po	t_nн	t_no	R_noл	R₁	R₂
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,5)
(3,5)
(3,6)
(4,7)
(5,7)
(6,8)
(7,8)

В таблице временных характеристик работ приняты следующие обозначения:

t(i,j)-продолжительность работы

t_pн-ранний срок начала работы

t_po-ранний срок окончания работы

t_nн-поздний срок начала работы

t_nо-поздний срок окончания работы

R_пол-полный резерв времени работы

R₁-резерв времени первого рода (резерв времени увеличения продолжительности работы без изменения позднего срока начального события)

R₂-резерв времени второго рода (резерв времени увеличения продолжительности работы без изменения раннего срока конечного события).

Задача № 4

Распределение капиталовложений

Найти оптимальное распределение капиталовложений в модернизацию производства между четырьмя предприятиями так, чтобы общий прирост продукции был максимальным. Исходные данные по каждому предприятию (прирост выпуска продукции в зависимости от выделенных средств , (тыс. грн.) на реконструкцию и модернизацию) приведены в таблице.

Таблица исходных данных задачи

Данная задача динамического программирования. Оптимальное управление строится поэтапно шаг за шагом. На каждом этапе оптимизируется управление только этого шага, но оно должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Каковы бы ни были начальное состояние системы на любом шаге и управление, выбранное на данном шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага.

Шаг 1.Пусть все средства выделены первым двум предприятиям. Расчет прироста выпуска продукции в результате капиталовложений в модернизацию производства только первых двух предприятий будем производить в таб.№1.

Прирост от капвложений только в первое предприятие	Общие капиталовложения	Капиталовложения во второе предприятие	Максимальный прирост продукции на двух предприятиях	Оптимальное распределение средств между предприятиями.

		14+0=14	0+12=12	___	___	___	___	20+0
		24+0=24	14+12=26	0+36=36	___	___	___	0+40
		54+0=54	24+12=36	14+36=50	0+42=42	___	___	60+0
		56+0=56	54+12=66	24+36=60	14+42=56	0+48=48	___	60+20
		70+0=70	56+12=68	54+36=90	24+42=66	14+48=62	0+60=60	60+40
Прирост производства							второго предприятия

Шаг 2. Пусть все средства выделены первым трем предприятиям. Расчет прироста выпуска продукции в результате капиталовложений в модернизацию производства только первых трех предприятий будем производить в таб.№2.

Прирост от капвложений в первое и второе предприятия	Общие капиталовложения	Капиталовложения в третье предприятие	Максимальный прирост продукции на трех предприятиях	Оптимальное распределение средств между предприятиями.

		14+0=14	0+18=18	___	___	___	___	0+0+20
		36+0=36	14+18=32	0+28=28	___	___	___	0+40+0
		54+0=54	36+18=54	14+28=42	0+36=36	___	___	0+40+20
		66+0=66	54+18=72	36+28=64	14+36=50	0+72=72	___	0+0+80
		90+0=90	66+18=84	54+28=82	36+36=72	14+72=86	0+80=80	60+40+0
Прирост производства							третьего предприятия

Шаг 3.Пусть средства выделены всем четырем предприятиям. Расчет прироста выпуска продукции в результате капиталовложений в модернизацию производства всех четырех предприятий будем производить в таб.№3.

Прирост от капвложений в три первые предприятия

Общие капиталовложения

Капиталовложения в четвертое предприятие

Максимальный прирост выпуска продукции на первых трех предприятиях

Оптимальное распределение средств между предприятиями.

18+0=18

0+16=16

___

0+0+20+0

36+0=36

18+16=34

0+32=32

___

0+40+0+0

54+0=54

36+16=52

18+32=50

0+48=48

___

0+40+20+0

72+0=72

54+16=70

36+32=68

18+48=66

0+64=64

___

0+0+80+0

90+0=90

72+16=88

54+32=86

36+48=84

18+64=82

0+90=90

0+0+0+100 или 60+40+0+0

Прирост производства

четвертого предприятия

Таким образом, при оптимальном распределении капиталовложений между предприятиями в зависимости от объема инвестиций (20, 40, 60, 80, 100 тыс. грн) прирост производства может составить 18, 36, 54, 72 или 90 единиц.

Объем капиталовложений	Прирост производства	Распределение средств по предприятиям
		0+0+20+0
		0+40+0+0
		0+40+20+0
		0+0+80+0
		0+0+0+100 или 60+40+0+0

Задача №5

Матричная игра

Методами линейного программирования найти решение матричной игры (найти оптимальные смешенные стратегии игроков) с платежной матрицей. Условие приведено в таблице:

В конфликтной ситуации столкнулись противоположные интересы двух сторон – A и B. Сторона A имеет три стратегии поведения в этой ситуации. Эти стратегии обозначены , , . Стратегии стороны B обозначены , , . При применении стороной A стратегии , а стороной В стратегии выигрыш стороны А будет . Для стороны В такой же по величине будет проигрыш. Эти значения приведены в платежной матрице. Для удобства вычислений в этой матрице все . Если бы среди них были и отрицательные значения, то прибавлением ко всем элементам матрицы наибольшего по модулю отрицательного числа матрица переводится в положительно определенную.

Цель первого игрока А обеспечить себе максимальный выигрыш при применении против него игроком В своей оптимальной стратегии. Цель второго игрока В – обеспечить минимальный проигрыш при применением игроком А своей оптимальной стратегии. Игрок А стремится выбором стратегии обеспечить себе максимальный из минимально возможных выигрышей:

Это нижняя цена игры, или гарантированный выигрыш игрока А.

Игрок В выбирает такую стратегию , которая бы обеспечила ему минимальный проигрыш :

- верхняя граница игры.

Пусть V – цена игры (выигрыш одного и равный ему проигрыш другого). и .

Если = =V, то игра имеет седловинную точку . Тогда интересы обоих игроков будут максимально удовлетворены, если игрок А выбирает стратегию , а игрок В – стратегию . Отклонение любого игрока от своей оптимальной стратегии имеет для него отрицательные последствия.

Если < , то и первый и второй игроки принимают некоторые из своих стратегий с определенными относительными частотами: и .

Решение

Найдём нижнюю и верхнюю цену игры:

=max(2,3,1)=3 – нижняя цена игры

=min(8,7,5)=5 – верхняя цена игры.

Так как ,то для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо удовлетворить системе неравенств:

Переходим к канонической форме записи системы:

Разделим каждое из уравнений полученной системы на V и введём обозначения:

Выражение будем рассматривать как целевую функцию, которая должна достигать максимума. Имеем стандартную задачу линейного программирования:

Решаем эту систему симплексным методом с помощью симплекс таблицы.

№ итер	№ стр.			h




Индексная строка		-1	-1	-1
				3/4		23/4	11/4			-1/4	0,13
			5/8		53/8	9/8			-3/8	0,09
			1/8		1/8	5/8			1/8
Индексная строка	1/8		-7/8	-3/8			1/8
				11/53			94/53		-46/53	4/53	0,12
			5/53			9/53		8/53	-3/53	0,56
			6/53			32/53		-1/53	7/53	0,19
Индексная строка	11/53			-12/53		7/53	4/53
				11/94				53/94	-23/47	2/47
			7/94				-9/94	11/47	-3/47
			4/94				-32/94	13/47	5/47
Индексная строка	11/47				6/47	1/47	4/47

Так как в индексной строке третьей итерации нет отрицательных значений, то получен оптимальный план для переменной .

Из принятых обозначений находим:

- цена игры.

- относительная частота применения стратегии первым игроком

- относительная частота применения стратегии первым игроком.

Оптимальная стратегия первого игрока:

Одновременно с определением оптимальной стратегии игрока А найдена и оптимальная стратегия игрока В. Его стратегия отражена в индексной строке под переменными Переменные , умноженные на цену игры V, представляют собой относительные частоты применения стратегий С₁,С₂,С₃. Y^*=(6/11;1/11;4/11).

Задача № 6

Замена оборудования

Определить оптимальные сроки замены оборудования за плановый период n=10 лет, эксплуатировавшийся к началу планового периода t=8 лет, если стоимость нового оборудования составляет р=14, остаточная стоимость S(t)=2, стоимость продукции, произведенной за год r(t) и ежегодные расходы на эксплуатацию оборудования U(t) приведены в таблице: (i - срок эксплуатации; лет).

i
r(i)
U(i)

Определим затраты на приобретение нового оборудования:

14 – 2 = 12

Прибыль от эксплуатации нового оборудования за первый год с учётом затрат на его приобретение:

25 - 13 – 12 = 0

Прибыль от эксплуатации оборудования за i -й год: .

Средняя прибыль от эксплуатации вновь установленного оборудования за i лет:

Результаты расчёта прибыли приведены в таблице:

i	r_i	U_i	r_i-U_i
			(12) 0	-	-

					5.5
					7.0
					7.25
					7.2
					7.0
					6.71
					6.25
					5.89
					5.4

Cтроим график среднегодовой прибыли от эксплуатации оборудования i лет:

Так как среднегодовая прибыль максимальна при сроке эксплуатации оборудования 4 года, то оборудование имеет смысл заменять только после четырёх- шести лет его службы, чтобы обеспечить максимальную прибыль за плановый период. Так как возраст оборудования на начало планового периода превышает 4 года (восемь лет), то с начала первого года планового периода заменяем оборудование новым. Эксплуатируем это оборудование в течение пяти лет, снова заменяем его новым и снова эксплуатируем пять лет до окончания планового периода. Суммарная прибыль от использования оборудования в таком режиме составит 72 денежных единицы. Это максимально достижимая прибыль.

При эксплуатации оборудования после замены четыре года, замены новым и эксплуатации второго нового оборудования уже в течении шести лет до окончания планового периода прибыль составит 71 денежную единицу. Такой же будет прибыль при эксплуатации оборудования в течении шести и четырёх лет соответственно.

1 23

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: