Решения задач 6.1 – 6.3 диагностической работы

6.1.Решение.Прямая BC параллельна плоскости SAD, в которой лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между прямыми SA и BC равно расстоянию от прямой BC до плоскости SAD.

Пусть E и F соответственно середины ребер AD и BC. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = , высота SO равна . Для площади S треугольника SEF имеют место равенства , из которых получаем .

Ответ. .

6.2. Решение.Плоскости AB₁D₁ и BDC₁, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.

Диагональ CA₁ куба перпендикулярна этим плоскостям. Обозначим E и F точки пересечения диагонали CA₁ соответственно с плоскостями AB₁D₁ и BDC₁. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми AB₁ и BC₁. Пусть O и O₁ соответственно центры граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ куба. В треугольнике ACE отрезок OF параллелен AE и проходит через середину AC. Следовательно, OF – средняя линия треугольника ACE и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что O₁E – средняя линия треугольника A₁C₁F и, значит, A₁E = EF. Таким образом, EF составляет одну треть диагонали CA₁, т.е. EF = .

Ответ. .

6.3.Решение. Расстояние между прямыми AA₁ и CF₁ равно расстоянию между параллельными плоскостями ABB₁ и CFF₁, в которых лежат эти прямые. Оно равно .

Ответ. .

Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми

1. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние между прямыми BA₁и DB₁.

2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми CC₁и AB.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CB₁.

4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AC.

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и CD.

6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF.

7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AE.

8. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB₁и EF₁.

Диагностическая работа 1

1. В кубе A…D₁найдите угол между прямыми BA₁и B₁D₁.

2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

3. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и DC₁.

4. В кубе A…D₁найдите синус угла между прямой A₁D₁и плоскостью

ACB₁.

5.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой AB и плоскостью

SBC.

6. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AF₁и плоскостью

BCC₁.

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями

ABC и SCD.

8. В правильной шестиугольной призме A…F₁найдите угол между плоскостями

AFF₁ и BCC₁.

9. В кубе A…D₁найдите косинус угла между плоскостями

AB₁D₁ и CB₁D₁.

10. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки B до прямой DA₁.

11. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой EB₁.

12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до прямой SD.

13. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки B до плоскости DA₁C₁.

14. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BFA₁.

15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до плоскости SCE.

16. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA₁и BC.

17. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB₁и CD₁.

18. В единичном кубе A…D₁найдите расстояние между прямыми AB₁и BD₁.

Диагностическая работа 2

1. В кубе A…D₁найдите угол между прямыми AB₁и BD₁.

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SB. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE.

3. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BD₁.

4. В кубе A…D₁найдите синус угла между прямой DD₁и плоскостью

ACB₁.

5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой AF и плоскостью

SBC.

6.В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BC₁и плоскостью

BCE₁.

7.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями

ABC и SEF.

8. В правильной шестиугольной призме A…F₁найдите угол между плоскостями

AFF₁ и BDD₁.

9. В кубе A…D₁найдите тангенс угла между плоскостями

ABC и DA₁C₁.

10. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CB₁.

11. В правильной шестиугольной призме A … F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BE₁.

12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до прямой SC.

13. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки B до плоскости AB₁D₁.

14. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CEF₁.

15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до плоскости SBF.

16. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA₁и BC₁.

17.В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB₁и FE₁.

18. В единичном кубе A…D₁найдите расстояние между прямыми BA₁и B₁D₁.

Диагностическая работа 3

1.В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AB и CD.

2.В кубе A…D₁ найдите тангенс угла между прямыми AB и DB₁.

3.В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми BA₁ и DB₁.

4.В кубе A…D₁найдите угол между прямой AС и плоскостью

BCD₁.

5.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой SA и плоскостью

SBC.

6. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой FC₁и плоскостью

BCE₁.

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC.Найдите угол между плоскостями ABC и BDE.

8. В кубе A…D₁найдите угол между плоскостями

ABC₁ и BCD₁.

9. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями

ABC и BFE₁.

10. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.

11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до прямой SB.

12. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CF₁.

13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SB.Найдите расстояние от точки B до плоскости ACE.

14. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости AB₁C₁.

15. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CFA₁.

16. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние между прямыми AB и CA₁.

17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и DF.