РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Составление алгоритма решения систем уравнений методом подстановки.

· Из любого уравнения выразить x или y (например: y из 1 уравнения).

· В другое уравнение вместо выраженной переменной (y) подставить полученное буквенное выражение .

· Получилось уравнение с одной переменной (x). Решив его, найти значение переменной (x).

· Подставить найденное значение переменной (x) в выражение, определённое на первом шаге (например: y). Вычислить значение другой переменной (y).

VI. Решение систем способом подстановки:

№ 1. Решить систему

Решение: , , 4х = 2 , х = 1/2.

y = 1/2 +1 = 1,5 . Ответ: ( 1/2; 1,5 ) .

№ 2. Решить систему

Решение: , , , y = 34, x = 21.

Ответ: (21; 34).

Метод сложения

Ввести решение систем методом алгебраического решения с помощью решения системы уравнения:
Данную систему уравнений можно решить и другим способом:
Сначала избавиться от переменной , для этого надо сложить два уравнения системы:
; ; .
Затем из любого уравнения надо выразить другую переменную :
.
Ответ: (5; 5).
Для доказательства можно выполнить проверку для данной системы.
2) Рассмотреть примеры 1 и 2 учебника (с. 154 – 155).
3) Вывести алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического решения:

• Привести два уравнения системы к одинаковым по модулю коэффициентам при переменной или при переменной .
• Если коэффициенты одинаковые, то из одного уравнения вычесть другое. Если же коэффициенты противоположные по значению, то уравнения системы складываются.
• Решить полученное уравнение относительно одной переменной и найти значение одной из переменных системы.
• Выразить из одного из уравнений системы неизвестную переменную.
• Подставить известное значение и найти значение второй переменной.
• Записать ответ.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рациональные уравнения

1. Алгоритм решения рационального уравнения

Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

= 0

При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

Вспомним условия равенства дроби нулю: тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля ).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения (1), что . Значения х₁ = 2 и х₂ = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.

Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.

Алгоритм решения рационального уравнения

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1) Преобразуем уравнение к виду

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

(одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид

3) Решим уравнение х² - 6x + 8 = 0. Находим

4) Для найденных значений проверим выполнение условия . Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень.
О т в е т: 4.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: