Решение квадратных уравнений

Алгоритм (решения линейных уравнений)

1. Раскрыть скобки в каждой части уравнения (если нужно).

2. Неизвестные собрать в левой части уравнения, известные в правой части уравнения. ( При переносеслагаемых из одной части уравнения в другую знак «+» меняем на “ –“, а знак “ – “ на «+».)

3. В каждой части уравнения приведи подобные слагаемые.

4. Неизвестное найди, как неизвестный множитель ( произведение подели на известный множитель).

Алгоритм. Решение линейных неравенств.

1. Раскрыть скобки (если нужно).

2. Неизвестные перенести в левую часть неравенства, известные в правую часть. ( При переносе знаки перед слагаемыми изменить на противоположные “-“ на “+“;“+“ на “-“;знак неравенства сохраняется).

3. В каждой части привести подобные слагаемые, получаем неравенство вида: ax < b или ax > bили ax £ b или ax ³ b.

4.Чтобы найти x, число (b) стоящие в правой части разделить на коэффициент при x (a), причём, если a>o, то знак неравенства сохраняется, если a<0, то знак меняетсяна противоположный ( “<” на “>”; “>” на “<”; “£” на “³”; “³” на “£”).

Решение изобразить на числовой прямой и ответ записать промежутком.

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной , получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

. Корень(решение) этого уравнения

. Корень этого уравнения

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной[править]

Пример 1[править]

Решим уравнение:

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

Приведём подобные слагаемые:

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это −2), после этого останется без коэффициента:

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число 4 корнем этого уравнения, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:

(то есть )

Так как это равенство является верным, то 4 действительно является корнем уравнения.

Пример 2[править]

Решим уравнение:

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

Разделим обе части уравнения на коэффициент при (на ) и получим:

Пример 3[править]

Решим уравнение:

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

Разделим обе части уравнения на коэффициент при x (на ) и получим:

Две части равенства можно писать в любом порядке (то есть это уравнение ничем не отличается от уравнения ), значит решением этого уравнения будет Обратите внимание, что здесь ноль — это свободный член, а не коэффициент при . Поэтому в отличие от следующих примеров, у этого уравнения есть решение, притом только одно.

Случай отсутствия решений[править]

Решим уравнение:

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

Какой бы мы ни взяли, это уравнение не превратится в верное равенство. Значит, это уравнение не имеет решений. В данном случае нельзя было поступить также как в первом примере, поскольку делить на ноль нельзя.

Частный случай — бесконечное число решений[править]

Решим уравнение:

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

В этом случае тоже нельзя разделить обе части на ноль, так как это запрещено. Но подставив на место икса любое число, мы получим верное равенство. Значит, любое число является решением этого уравнения. Таким образом, у этого уравнения бесконечно много решений.

Решение квадратных уравнений

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;

2. Имеют ровно один корень;

3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь —дискриминант.

Дискриминант

Определение

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогдадискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;

2. Если D = 0, есть ровно один корень;

3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача

Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;

2. 5x² + 3x + 7 = 0;

3. x² − 6x + 9 = 0.

Решение

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Ответ

1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача

Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;

2. 15 − 2x − x² = 0;

3. x² + 12x + 36 = 0.

Решение

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Ответ

1) x₁ = 3; x₂ = -1; 2) x₁ = −5; x₂ = 3; 3) x = −6.

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;

2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Определение

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;

2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача

Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;

2. 5x² + 30 = 0;

3. 4x² − 9 = 0.

Решение

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Ответ

1) x₁ = 0; x₂ = 7; 2) корней нет; 3) x₁ = 1,5; x₂ = 1,5.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: