Коэффициенты дисконтирования

Определив множество спот-ставок, легко вычислить соответствующее множество коэффициентов дисконтирования (discount factors). Коэффициент дисконтирования d_t равен сегодняшней стоимости $1, который будет получен через t лет по казначейской ценной бумаге, т.е.:

Множество таких коэффициентов иногда называют рыночной функцией дисконтирования (market discount function). Коэффициенты дисконтирования изменяются каждый день с изменением спот-ставок. В примере d₁ = 1/(1 + 0 07)¹ = 0 9346; d₂ = 1/(1 + 0,08)² = 0,8573.

Если рыночная функция дисконтирования определена, то очень просто можно найти современную эквивалентную стоимость любой казначейской ценной бумаги (а также любой безрисковой ценной бумаги). Обозначим через С_t выплаты, получаемые инвестором в год t по рассматриваемой ценной бумаге. Умножение С_t на d_t называется дисконтированием (discounting), или приведением, заданной (известной) будущей стоимости к современной эквивалентной стоимости. Последнее означает то, что Р сегодняшних долларов можно превратить в C_t долларов через t лет, используя имеющиеся инвестиционные возможности при сегодняшних преобладающих спот-ставках. Инвестиция, приносящая С_t гарантированных долларов через t лет, сегодня должна стоить Р= d_tC_t долларов. Если она стоит дороже, то инвестиция переоценена; если дешевле, то недооценена. Эти утверждения опираются на сравнение альтернативных возможностей на рынке. Таким образом, оценка инвестиций в безрисковые ценные бумаги не требует определения индивидуальных характеристик ценных бумаг, а требует только точного анализа возможных вариантов, представленных на рынке.

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

Почти безрисковые бумаги

Чтобы рассуждения не были абстрактными, необходимо знать, существуют ли безрисковые ценные бумаги в действительности? Оказывается, на финансовых рынках США подобных ценных бумаг не существует.

Безрисковая ценная бумага обеспечивает инвестору определенную прибыль за конкретный инвестиционный срок. Поскольку инвестор заинтересован в сохранении покупательной способности своих инвестиций, доход по безрисковой бумаге должен быть вычислен с учетом инфляции.

Как уже упоминалось, хотя казначейские ценные бумаги США имеют практически нулевой риск неуплаты, все же они не обеспечивают безрискового реального дохода. Возврат основной суммы и процентов не учитывает инфляцию, возрастающую в период обращения ценной бумаги. В результате непредвиденная инфляция изменяет реальный доход, ожидаемый во время покупки ценной бумаги.

Предположим, однако, что уровень инфляции невысок и предсказуем. Будут ли Казначейские бумаги обеспечивать инвестора безрисковым доходом с точки зрение инфляции? Как правило, нет.

Сроки инвестирования, предпочтительные для инвестора, обычно не совпадают со сроками обращения конкретных казначейских ценных бумаг. Если срок, предпочтительный для инвестора, больше, чем срок до погашения ценной бумаги, то инвестору придется покупать еще одну ценную бумагу после погашения первой. Если в этом промежутке произошло изменение номинальной процентной ставки, то инвестор получит доход, отличный от того, который он первоначально ожидал (этот риск известен как риск изменения ставки реинвестирования – см. гл. 9).

Если срок обращения казначейской ценной бумаги превышает срок, предпочтительный для инвестора, то инвестору придется продать эту ценную бумагу, не дожидаясь ее погашения. Если процентная ставка изменится перед продажей, то стоимость ценной бумаги также изменится, вследствие чего инвестор получит доход, отличный от того, который первоначально ожидался (этот риск известен как риск изменения процентной ставки – см. гл. 9).

Даже при условии совпадения сроков обращения и сроков инвестирования безрисковый доход, как правило, не обеспечивается. За исключением казначейского векселя (Treaswy bill), по всем казначейским ценным бумагам делаются периодические инвестиционные выплаты (см. гл. 14), которые инвестор должен реинвестировать. Если процентная ставка меняется во время обращения ценной бумаги, то условия реинвестирования будут меняться и, соответственно, инвестор получит доход, отличный от ожидавшегося.

Ясно, что инвестора в наибольшей степени устроили бы казначейские ценные бумаги, по которым осуществляется только одна выплата (включающая основную сумму и все проценты) в день погашения. В этом случае инвестор может выбрать ценную бумагу, срок обращения которой совпадает со сроками инвестирования. Такие ценные бумаги будут фактически безрисковыми, по крайней мере в части выплаты номинального дохода.

Ценная бумага с фиксированным доходом, по которой делается только одна выплата вдень погашения, называется бескупонной облигацией. До 80-х годов не существовало бескупонных облигаций, кроме казначейских векселей (срок обращения которых не превышал одного года). Однако в последнее время бескупонных казначейских ценных бумаг было выпущено на сумму более $200 млрд. Рост этого рынка объясняется уникальными преимуществами безрисковых ценных бумаг и высоким спросом на них со стороны институциональных инвесторов.

Купонные ценные казначейские бумаги могут рассматриваться как портфель бескупонных облигаций. Сама облигация и каждый купон могут считаться самостоятельными облигациями. В 1982 г. несколько брокерских фирм пришли к пониманию того, что купоны по ценным казначейским бумагам могут быть отделены от облигаций и затем проданы. Этот процесс называется отрывом купонов (coupon stripping).

Например, брокерская фирма XYZ может купить только что выпущенную 20-летнюю казначейскую облигацию и поместить ее в доверенный банк. Предположим, что выплаты по облигации производятся дважды в год, тогда XYZ может создать 41 бескупонную облигацию (40 процентных купонов и одна облигация с оторванными купонами). Конечно, XYZ может создать и большее количество бескупонных облигаций путем покупки и размещения дополнительного количества исходных казначейских облигаций того же выпуска. Созданные таким образом новые бескупонные облигации в свою очередь могут быть проданы инвесторам (с комиссионной надбавкой). По мере того как казна осуществляет обещанные выплаты по облигации, доверенный банк производит выплаты держателям бескупонных облигаций с соответствующими сроками погашения. Процесс продолжается до тех пор, пока все проценты и основной вклад не будут выплачены и все облигации, связанные с казначейской облигацией, не будут погашены.

Брокерские фирмы выпускали выпускали бескупонные облигации, базирующиеся на казначейских ценных бумагах, с разными экзотическими названиями, такими, как «львы», «тигры» и «кошки» (LIONs – Lehman Investment Opportunity Notes, TIGRs - Merrill Lynch's Treasury Securities, CATS - Salomon Brothers' Certificates of Accrual on Treasury Securities). Неудивительно, что в торговле эти облигации стали называться «животные» (animals).

И брокерские фирмы, и инвесторы были в выигрыше от отрыва купонов. Брокерские фирмы обнаружили, что совокупная стоимость частей была выше стоимости целого, так как каждая часть облигации могла быть продана инвестору с соответствующей наценкой. Инвесторы выиграли от того, что был создан рынок ликвидных безрисковых ценных бумаг.

В Казначействе США с запозданием осознали привлекательность «оторванных» казначейских облигаций. Только в 1985 г. была разработана программа, названная STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities). Эта программа позволяла покупателям определенных казначейских ценных бумаг, по которым выплачиваются проценты, оставлять себе уже полученные ранее выплаты, а предстоящие Купонные выплаты продавать. «Оторванные» облигации учитываются в компьютере Федеральной резервной системы (book entry system), и выплаты по ним начисляются в электронной форме. Любой финансовый институт, зарегистрированный в компьютере, может участвовать в программе STRIPS.

Брокерские фирмы скоро обнаружили, что гораздо дешевле создавать бескупонные облигации по программе STRIPS, чем через счета доверенных банков. В результате, сейчас почти все «оторванные» казначейские бумаги создаются по программе STRIPS.

Стоимость бескупонных казначейских Ценных бумаг зависит от многих факторов, включая налоговые ставки и законы, срок обращения ценной бумаги, соотношение краткосрочных и долгосрочных процентных ставок и рыночный спрос на конкретные облигации. Учитывая эти факторы, рынок поддерживает равновесие между стоимостью исходной казначейской ценной бумаги и суммарной стоимостью соответствующих ей «оторванных» облигаций. Подобно тому, как финансовые организации обнаружили выгодность «оторванных» облигаций, может оказаться, что при определенных рыночных ценах бескупонные облигации станет выгодно объединять для воссоздания исходной ценной бумаги. Недорогое функционирование программы STRIPS повысило эффективность рынка бескупонных казначейских ценных бумаг.

Возможно, когда-нибудь Казначейство выпустит облигации, учитывающие индекс инфляции, и разрешит их разделение. Такие облигации будут действительно безрисковыми. Но пока «оторванные» казначейские облигации являются лишь подобием безрисковой ценной бумаги.

Простой, но в некотором смысле фундаментальной характеристикой рыночной структуры для облигаций, не имеющих риска неисполнения обязательств (default-free bond), является текущий набор коэффициентов дисконтирования, ранее названный рыночной функцией дисконтирования. Имея этот набор коэффициентов, несложно оценить подобную облигацию, если по ней осуществляется более чем одна выплата, так как такая облигация может считаться пакетом облигаций, по каждой из которых осуществляется только одна выплата. Каждая величина предстоящей выплаты просто умножается на соответствующий коэффициент дисконтирования, а затем полученные величины суммируются.

Например, предположим, что Казначейство готовится предложить для продажи купонную ценную бумагу со сроком погашения два года, по которой через год будет выплачено $70, а через два года - $1070. Какая цена для этой ценной бумаги будет справедливой? Та, которая равна суммарной сегодняшней стоимости $70 и $1070. Как ее определить? Путем умножения $70 и $1070 соответственно на одногодичный и двухгодичный коэффициенты дисконтирования. В результате получается: ($70 х 0,9346) + + ($1070 х 0,8573) = $982,73.

Независимо от сложности системы выплат, эта процедура может быть применена для определения стоимости любой облигации рассматриваемого типа. Общая формула расчета приведенной стоимости облигации (present value) такова:

где С_t - обещанные выплаты по облигации в году t, t = 1,..., n, a d_t, - соответствующие коэффициенты дисконтирования.

Мы показали, как могут быть рассчитаны спот-ставки и коэффициенты дисконтирования. Однако не установили связь между различными спот-ставками (или различными коэффициентами дисконтирования). Например, до сих пор не было показано, как связана годовая 7%-ная спот-ставка с двухгодовой 8%-ной спот-ставкой. Концепция форвардных ставок позволяет установить эту связь.

Форвардные ставки

В рассмотренном ранее примере годовая спот-ставка составила 7%. Это означает, что рынок установил приведенную стоимость $1, который будет выплачен Казначейством через один год - $1/1,07 = $0,9346. Другими словами, соответствующая процентная ставка в коэффициенте дисконтирования для приведения денежного потока через один год к его текущей стоимости равна 7%. Для упоминавшейся 8%-ной спот-ставки современная стоимость $1, который будет получен через два года, будет равна $1/1,08 = $0,8573.

Для определения приведенной стоимости $1, выплачиваемого через два года, можно провести двухшаговое дисконтирование. На первом шаге определяется не приведенная стоимость этого доллара, а его стоимость через год. А именно, $1, получаемый через два года, через один год будет эквивалентен $1/(1 + f_1,2). На втором шаге определяется приведенная стоимость доллара путем дисконтирования его стоимости через год по слот-ставке 7%. Таким образом, приведенная стоимость равна:

Однако эта величина должна равняться $0,8573, так как в соответствии с двухгодовой спот-ставкой сегодняшняя стоимость одного доллара, получаемого через два года, равна $0,8573. В результате получаем следующее уравнение:

решением которого является f_1,2 = 9,01%.

Ставка f_1,2 в коэффициенте дисконтирования называется форвардной ставкой (forward rate) от первого до второго года, т.е. это ставка в коэффициенте дисконтирования, которая используется для определения стоимости доллара через год при условии, что этот доллар будет получен через два года. В рассмотренном примере $1, получаемый через два года, эквивалентен величине $1/1,0901 = $0,9174, получаемой через один год (еще раз обратите внимание на то, что приведенная стоимость суммы в $0,9174 равна $0,9174/1,07, т.е. $0,8573).

Математически связь между годовой спот-ставкой, двухгодовой спот-ставкой и годовой форвардной ставкой записывается следующим образом:

что может быть переписано так:

или

(l + s₁)(l + f_1,2) = (l + s₂)² (5.17)

Рисунок 5.1 иллюстрирует эти вычисления с помощью рассмотренного выше примера, а затем делается обобщение.

В более общем виде для спот-ставок в годы t – 1 и t связь с форвардной ставкой между годами t – 1 и t такова:

или

(5.19)

Рис. 5.1. Спот-ставки и форвардные ставки

Но существует и другая интерпретация форвардных ставок. Рассмотрим заключаемый сейчас контракт на заем денег через год и возвращение их через два года. Такой контракт называется форвардным контрактом. Процентная ставка по одногодичному займу, указываемая сейчас в таком контракте (заметьте, что проценты должны быть выплачены по истечении контракта, т.е. через два года), будет определяться как форвардная ставка.

Важно различать эту ставку и ставку по одногодичным займам, которая установится через год (спот-ставка через год). Форвардная ставка применяется к контракту, заключаемому сейчас, но относится к будущему периоду времени. После заключения контракта условия становятся неизменными, несмотря на то, что сама сделка произойдет позднее. Если вместо заключения форвардного контракта сейчас ждать наступления следующего года и затем подписывать контракт на заем денег по спот-ставкам, которые тогда установятся, то условия могут оказаться как лучше, так и хуже, чем сегодняшняя форвардная ставка, так как будущую спот-ставку невозможно точно предсказать.

В рассмотренном выше примере на рынке установилась такая цена на казначейские ценные бумаги, что инвестор, покупающий ценную бумагу со сроком обращения два года, потребует процентную ставку, равную двухгодовой спот-ставке в 8%, т.е. инвестора будут устраивать следующие условия: 1) годичный заем правительства по процентной ставке, равной годовой спот-ставке в 7%; 2) форвардный контракт с правительством на заем правительством денег через год и получение их обратно через два года по форвардной процентной ставке 9,01%.

Рассмотренные форвардные контракты являются неявными. Однако иногда форвардные контракты заключаются явным образом. Например, можно получить обязательство от банка на предоставление ему годичного займа, который будет возвращен через год по заранее определенной фиксированной ставке. Финансовые фьючерсные рынки (обсуждаемые в гл. 21) предоставляют стандартные форвардные контракты такого типа. Например, в сентябре можно заключить контракт, по которому требуется заплатить $970 в декабре для покупки 90-дневного казначейского векселя с выплатой $1000 в марте.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: