Метод наибольшего правдоподобия
Случай непрерывных распределений
Пусть x , x … x – независимая выборка из непрерывного распределения с плотностью p(x; θ).
Определение 1: Функция вида L(x , x … x ; θ)=p(x ; θ)…p(x ; θ) называется функцией правдоподобия.
Определение 2: Оценкой наибольшего правдоподобия параметра θ называют число , которое находится из условия L(x , x … x ; )=max L(x , x … x ; θ)
При выполнении некоторых условий, смысл которых состоит в том, что p(x; θ) – достаточно гладкая функция, а интеграл =1 достаточно быстро сходится, оценка максимального правдоподобия обладает следующими свойствами:
1. она состоятельна
2. она асимптотически нормальна, т.е при больших n можно рпиближенно считать, распределение приближенно нормельным.
3. она асимптотически эффективна, т.е при больших n оценку можно считать близкой к эффективной.
Недостатком метода является то, что иногда оценки получаются смещенными.
Случай дискретного распределения
Определение 1: Пусть P( )=P , где – число из выборки, а – та случайная величина, которая приняла значение . Функция вида L(x , x … x ; θ)=P(x ; θ)…P(x ; θ) называется функцией правдоподобия в дискретном случае.
Оценкой наибольшего правдоподобия параметра θ называют число , которое находится из условия L(x , x … x ; )=max L(x , x … x ; θ).
Пример: Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра λ распределения Пуассона P = , λ>0, – целые неотрицательные числа.
Решение. Составляем функцию правдоподобия L(x , x … x ; λ)=
И находим, что ее максимум достигается в точке = .
25.Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надёжностью γ покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой (с надёжностью γ) математического ожидания а нормального распределённого количественного признака по выборочной средней хв
1. при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал хв – t (σ/√n) < a < хв + t (σ/√n), где δ = t (σ/√n) – точность оценки, n – объём выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) = γ/2.
2. при неизвестном σ (и объёме выборки n < 30) хв – tγ (s/√n) < a < хв + tγ (s/√n), где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, tγнаходят по таблицам распределения Стьюдента по заданным n (число степеней свободы k = n – 1) и γ.
Интервальной оценкой (с надёжностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределённого количественного признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s (1 – q) < σ < s (1 + q) (при q < 1), 0 < σ < s (1 + q) (при q > 1), где q находят по таблицам распределения χ2 по заданным n и γ.
26.Общая схема проверки гипотез:
1) выдвигается основная гипотеза Н0 и альтернативнаяН1; выбирается α
2) выбирается статистика К, с помощью кот-ой будет проверяться выдвинутая гипотеза
3) Вся область возможных значений статистики к разбивается на 2 непересекающиеся области: критическую и область принятия гипотезы, разделённые критическими точками
4) По имеющейся выборке выч-ся значение статистики Кнабл и определяют, в какую из 2-х областей оно попадает, и на основании этого принимается решение относит-но истинности Н0
Критическими точками (границами) kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > kкр, где kкр – положительное число.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < kкр, где kкр – отрицательное число.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k1, K > k2, где k2 > k1.
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется область определяется неравенствами (в предположении, что kкр > 0) К < – kкр, K > kкр, или равносильным неравенством: | K | > kкр.
Опр. Область допустимых значений – совокуп-ть значений критерия К, на основании кот-ых принимается основная гипотеза. К–случ.вел-на
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|