Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения — неотрицательная функция f(x)>=0.

2.2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до равен единице: Условие нормировки:

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

- вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

- полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Числовые характеристики случайных величин. Мат ожидание. Свойства мат ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:
M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:
М(С) = С
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С·М(Х)
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n)
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия. Свойства. Среднее квадратное отклонение

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х)
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Числовые характеристики случайных величин. Квантили. Мода, медиана. Начальные и центральные моменты.

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Начальным моментом порядка kслучайной величины Х называется матема-тическое ожидание величиныX^k:

ν_k = M (X^k).

В частности, ν₁ = М(Х), ν₂ = М(Х²). Следовательно, дисперсия D(X) = ν₂ — ν₁².

Центральным моментом порядка kслучайной величины Х называется мате-матическое ожидание величины (Х — М(Х))^k:

μ_k = M((Х — М(Х))^k)

Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого

p( X < Me ) = p( X > Me ).

Графически прямая х = Ме делит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на две равные части.

Для случайной величины Х с функцией распределения F(X) квантилью порядка р (0 < p < 1) называется число К_р такое, что F(K_p) ≤ p, F(K_p + 0) ≥ p. В частности, если F(X) строго монотонна, К_р: F(K_p) = p.

Производящая функция (случай целочисленных случайных величин).

Это частный случай Хар.функции.

Свойства.

Если Х=m(целые числа), то

Z=

Биноминальный закон распределения.

Это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А)=р=const. Кроме события А может произойти также противоположное событие, вероятность которого Р(А)=1-p=q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона:

Числовые характеристики Бин. распределения:

М(m)=np ; D(m)=npq; Ϭ(m)=

Закон распределения Пуассона.

Это распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой частотой и независимо друг от друга.

Р(м)=р(Х=м)=(а^м/м!)*е^-а

Условие нормировки: =1

Геометрический закон распределения

Это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний до первого успеха.

Р(Х=м)=q^м-1р; Mx=q/p; Dx=q/p²

Условие нормировки:

Ф. распределения:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: