Вероятность суммы событий

· Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

· Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

· Вероятность суммы двух совместныхсобытий выражается формулой:

· Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Следствие 1.Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице:

Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1,

где события А, В, ..., N образуют полную группу.

Действительно, так как события А, В, ..., N образуют полную группу, то событие А+В+...+N по правилу 1 является достоверным и Р(А+В + ... +N)=1. Вспомним, что события, образующие полную группу, являются несовместными. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А+В+...+N) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(N). Из двух полученных равенств делаем вывод: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного А, равна единице минус вероятность события А:

P( ) = 1  P(A).

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности

позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство ( , и полная группа попарно несовместных событий , таких что

1.

2.

3.

Пусть A — интересующее нас событие. Тогда

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N — случайная величина, имеющая распределение

.

Тогда

, т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

Формула Байеса

Формулировка

основная статья: Байесовская вероятность

,

где

P(A)— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

P(A|B)— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B|A)— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B)— полная вероятность наступления события B.

Доказательство

Формула Байеса вытекает из определения условной вероятности. Вероятность совместного события AB двояко выражается через условные вероятности

Вычисление P(B)

В задачах и статистических приложениях P(B) обычно вычисляется по формуле полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез, имеющих суммарную вероятность 1.

,

где вероятности под знаком суммы известны или допускают экспериментальную оценку.В этом случае формула Байеса записывается так:

«Физический смысл» и терминология

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом

факта произошедшего события —апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Однородная цепь Маркова

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется одно и только одно из k несовместных событий A1…A2…Ak полной группы, причем условная вероятность Pij(S) того, что в S-м испытании наступит событие Aj(=1,2,…,k), при условии, что в (s-1)-м испытании наступило событие Ai(i-1,2,…,k), не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Определение. Однородной называют цепь Маркова, если условная вероятность Pij(s) (переход из состояния i в состоянии j) не зависит от номера испытания. Поэтому вместо Pij(S) пишут просто Pij.

Переходной вероятностью Pij называют условную вероятность того, что из состояния i (в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние j.

Таким образом, в обозначении pij первый индекс указывает номер предшествующего, а второй − номер последующего состояния. Например, P23 – вероятность перехода из второго состояния в третье.\

Пусть число состояний конечно и равно k.

Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния i в любое возможное состояние j), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице. Другими словами, сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: