Вероятность суммы событий
· Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
· Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
· Вероятность суммы двух совместныхсобытий выражается формулой:
· Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).


Следствие 1.Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице:
Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1,
где события А, В, ..., N образуют полную группу.
Действительно, так как события А, В, ..., N образуют полную группу, то событие А+В+...+N по правилу 1 является достоверным и Р(А+В + ... +N)=1. Вспомним, что события, образующие полную группу, являются несовместными. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А+В+...+N) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(N). Из двух полученных равенств делаем вывод: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1.
Следствие 2. Вероятность события, противоположного А, равна единице минус вероятность события А:
P( ) = 1 P(A).
Формула полной вероятности.
Формула полной вероятности
позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
Формулировка
Пусть дано вероятностное пространство ( , и полная группа попарно несовместных событий , таких что
1. 
2. 
3. 
Пусть A — интересующее нас событие. Тогда

Замечание
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N — случайная величина, имеющая распределение
.
Тогда
, т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
Формула Байеса
Формулировка
основная статья: Байесовская вероятность
,
где
P(A)— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);
P(A|B)— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
P(B|A)— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B)— полная вероятность наступления события B.
Доказательство
Формула Байеса вытекает из определения условной вероятности. Вероятность совместного события AB двояко выражается через условные вероятности


Вычисление P(B)
В задачах и статистических приложениях P(B) обычно вычисляется по формуле полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез, имеющих суммарную вероятность 1.
, 
где вероятности под знаком суммы известны или допускают экспериментальную оценку.В этом случае формула Байеса записывается так:

«Физический смысл» и терминология
Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом
факта произошедшего события —апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).
Однородная цепь Маркова
Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется одно и только одно из k несовместных событий A1…A2…Ak полной группы, причем условная вероятность Pij(S) того, что в S-м испытании наступит событие Aj(=1,2,…,k), при условии, что в (s-1)-м испытании наступило событие Ai(i-1,2,…,k), не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Определение. Однородной называют цепь Маркова, если условная вероятность Pij(s) (переход из состояния i в состоянии j) не зависит от номера испытания. Поэтому вместо Pij(S) пишут просто Pij.
Переходной вероятностью Pij называют условную вероятность того, что из состояния i (в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние j.
Таким образом, в обозначении pij первый индекс указывает номер предшествующего, а второй − номер последующего состояния. Например, P23 – вероятность перехода из второго состояния в третье.\
Пусть число состояний конечно и равно k.
Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:
Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния i в любое возможное состояние j), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице. Другими словами, сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|