Вероятностное пространство.

Конечное вероятностное пространство. Пусть эксперимент имеет конечное число возможных исходов:

Ω = {ω₁,ω₂,…, ω_n} – Пространство элементарных событий.

S (сигма- алгебра)

1.

2.

Состоит из всех подмножеств множества 𝛺. Всего таких подмножеств: (всевозможные сочетания из n по m элементов)

Все подмножества можем подсчитать с помощью суммы биномиальных коэффициентов. Каждое случайное событие можно выразить через множество каких-то элементарных исходов.

Поставим в соответствие каждому элементарному исходу некоторое число – вероятность элементарного события:

удовлятворяющую следующим условиям:

1. Неотрицательности: p(ωi) ≥ ,0 ∀ωi ∈Ω

2. Нормированности:

Тогда вероятностью события А будет число р(А):

-сумма вероятностей элементарных событий составляющих событие А.

Если для каждого элементарного исхода определить вероятность, то вероятность случайного события, состоящего из этих элементарных исходов, будет равна сумме вероятностей соответствующих элементарных исходов.

1.9Условная вероятность.
Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть два

случайные события, причём . Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется

. |B)=

Замечания

Круговая диаграмма Венна для условной вероятности

Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

Если , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

· Условная вероятность является вероятностью, то есть функция, заданная формулой

,

Пример

Если A, B — несовместимые события, то есть и , то

и .

Предположим, что по статистике вероятность того, что человек доживает до 80 лет , а вероятность того, что человек доживет до 90 лет

Какова вероятность того, что человек доживший до 80 лет доживет до 90?
Решение:
(если независимы) но так как вероятности зависимы, то пересечение вероятности будет 0,2

0,2/0,3 = 2/3 ≈ 0,67

1.10 вероятность произведения события
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при том условии, что первое событие произошло:

Р(А В) = Р(А)P_A(В) .

Так как для вычисления вероятности произведения не играет роли какое из рассмотренных событий А и В было первым, а какое вторым, то можно записать:

Р(А В) = Р(А) P_A(В) = Р(В) P_B(А).

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Р(АВ) = Р(А)  P(В).

1.11 Независимость событий.
пределение 1. Два события A, B независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий , где I — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

пределение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

.

Независимые сигма-алгебры[

Определение 4. Пусть A₁, A₂ две сигма-алгебры на одном и том же вероятностном пространстве. Они называются независимыми, если любые их представители независимы между собой, то есть:

.

Независимые случайные величины

Определения

Определение 5. Пусть дано семейство случайных величин , так что . Тогда эти случайные величины попарно независимы, если попарно независимы порождённые ими сигма-алгебры . Случайные величины независимы в совокупности, если таковы порождённые ими сигма-алгебры.

Определение, данное выше, эквивалентно любому другому из нижеперечисленных. Две случайные величины X, Y независимы тогда и только тогда, когда:

Для любых A, B :

·

· Для любых борелевских функций случайные величины f(X), g(Y) независимы.

· Для любых ограниченных борелевских функций f,g: R→R:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: