Приложения дифференциальных

Уравнений

Пример 1.Составить уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен утроенному квадрату абсциссы точки касания. Доказать, что у= х³+ C, где C - произвольная постоянная, определяет множество кривых с указанным угловым коэффициентом. Из этого множества выделить кривую, проходящую через точку А(1; -2).

Решение. По условию задачи угловой коэффициент k касательной к искомой кривой у = у(х) в каждой ее точке равен 3х². По определению геометрического смысла производной

у' = k = 3х² ,

или

= 3х². (5.23)

Умножив обе части полученного дифференциального уравнения на dх, после интегрирования получим

у = х³+ C, (5.24)

C – постоянная интегрирования.

Итак, семейство кубических парабол удовлетворяет условию задачи.

Для доказательства того, что уравнение у = х³+ C определяет множество кривых с указанным угловым коэффициентом, подставим его в исходное дифференциальное уравнение (4.20)

(х³+ C)'= 3х²,

откуда

3х²º 3х².

Что доказывает справедливость утверждения.

Для того, чтобы из бесконечного множества кривых у = х³ + С выбрать ту, что проходит через точку А(1; -2), подставим в выражение (5.24) вместо х и у соответственно 1 и –2, получим

-2 = 1³+ C,

откуда

С = -3.

Таким образом, уравнение искомой прямой

у = х³- 3.

Пример 2.В комнате, где температура Т_о = 20^оС, некоторое тело остыло за 15 минут с Т₁ = 100^оС до Т₂ = 60^оС. Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно остынет до 40^оС.

Решение. В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можно записать

= k (Т – Т_о),

k – коэффициент пропорциональности. Т_о = 20^оС, тогда

= k(Т - 20), или = k dt.

После интегрирования получим

ln(T - 20) = kt + ln|C|, (5.25)

откуда

T(t) = C e^kt+ 20, (5.26)

С – произвольная постоянная.

Найдем неизвестные С и k, используя начальные условия. Если t = 0, то

Т = 100^оС и из (5.26) имеем

100 = Сe⁰ + 20, откуда С = 80.

Если t = 15, то Т = 60^оС. Подставляя эти значения в (5.25) получим

ln 40 = 15k + ln 80, откуда k = .

Подставляя найденные значения С и k в выражение (5.26), получим закон охлаждения тела

T(t) = 20 + 80 ,

или окончательно

Т(t) = .

Найдем время, необходимое для охлаждения тела до T = 40^оС, имеем

40 = , или .

Таким образом, , откуда t = 30 мин.

Пример 3.Установлено, что скорость размножения бактерий в любой момент времени положительна и пропорциональна их массе. Найти закон изменения массы бактерий от времени, если первоначальное их количество составляло 1 г, а, спустя час, оно удвоилось.

Решение. Обозначим через m(t) массу бактерий в момент времени t, тогда будет скорость размножения этих бактерий. Согласно условию задачи скорость размножения пропорциональна массе m(t) бактерии, поэтому

= k m, k > 0.

После интегрирования получим m(t) = C e^kt, где С – произвольная постоянная.

Определим С из условия m = 1 при t = 0, откуда С = 1, т.е.

m(t) = e^kt.

Найдем е^k из условия m = 2 при t = 1:

2 = e^k.

Тогда закон изменения массы бактерий запишется в виде

m(t) = 2^t.

107. Составить уравнение кривой, если известно, что угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен 4х + 3.

108. Составить уравнение кривой, проходящей через точку А(1; 3), если известно, что угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен 3x²+ 2.

109. Тело, температура которого 25^оС погружено в термостат, в котором поддерживается температура 0^оС. За какое время тело охладится до 10^оС, если за 10 минут оно охлаждается до 20^оС? Скорость охлаждения тела пропорциональна температуре тела.

110. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут падает с 100 до 60^оС. Температура воздуха равна 25^оС. Через какое время от начала охлаждения температура хлеба понизится до 30^оС?

111. В пивных дрожжах быстрота прироста фермента пропорциональна наличному его количеству m. Первоначальное количество фермента было равно m₀. Через 1 час оно удвоилось. Во сколько раз количество фермента возрастет через 3 часа?

112. К началу радиоактивного распада имели 100 г радия. Сколько радия распадается за 200 лет, если период его полураспада равен 1590 годом?

113. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость оборудования равна 10 000 у.е. Какова будет его стоимость через 10 лет, если через 1 год она составляла 9 000 у.е ?

114. Пусть полные издержки С есть функция объема производства х. Найти функцию издержек, если известно, что предельные издержки для всех значений х равняются средним издержкам.

115. Катер движется в спокойной воде со скоростью 18 км/ч. Через 5 минут после выключения двигателя его скорость уменьшилась до 6 км/ч. Определить расстояние, пройденное катером по инерции за 15 минут, если сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.

116. Найти класс функций, эластичность которых постоянна и равна k.

117. Эластичность Е= −1/3 для любых значений p. Найти функцию спроса.

118. Пусть функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид

D(t) = 30 – p – p׳^׳ ,

S(t) = 20 + p + 3p׳.

Найти зависимость равновесной цены p от времени t, если p(0) = 7.

* В данном случае, не нарушая общности, постоянную интегрирования C удобно представить в виде ln|C|.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: