Сделай Сам Свою Работу на 5

Уравнения второго порядка с постоянными





Коэффициентами

Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

у'' + ру' + qy = 0, (5.18)

где р и q – постоянные.

Определение 2.Линейной комбинацией функций у1(х) и у2(х) с коэффициентами C1 и C2 называется выражение вида

C1 у1(х) + C2 у2(х).

Определение 3. Если линейная комбинация C1 у1(х) + C2у2(х) равна нулю, только когда коэффициенты C1 и C2 равны нулю, то функции у1(х) и у2(х) называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми.

Общее решение уравнения (5.18) можно найти по его известным частным решениям у1(х) и у2(х).

Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Если у1(х) и у2(х) – линейно независимые частные решения уравнения (5.18), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т. е. имеет вид

у = С1 у1(х) + С2 у2(х),

где С1 и С2 – действительные числа.

Итак, для нахождения общего решения уравнения (5.18) достаточно найти два его линейно независимых частных решения. Будем искать эти частные решения в виде у = е, где k = const; тогда у' = kе, у'' = k2е. Подставляя эти выражения в уравнение (5.18), получим



е(k2+ рk + q) = 0.

Так как е ¹ 0, то

k2+ рk + q = 0.(5.19)

Это уравнение называется характеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения (5.18).

Решая характеристическое уравнение (5.19), найдем его корни k1 и k2, а, следовательно, и частные решения уравнения (5.18):

у1(х) = ; у2(х) = .

Общее решение дифференциального уравнения (5.18) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения. Справедлива теорема.

Теорема 2.

1. Пусть характеристическое уравнение (5.19) дифференциального уравнения (5.18) имеет различные действительные корни k1 и k2 (дискриминант D > 0). Тогда общее решение уравнения (5.18) имеет вид

у = C1 + C2 . (5.20)

2. Если характеристическое уравнение (5.19) имеет действительные равные корни k1 = k2 = k (D = 0), то общее решение уравнения (5.18) имеет вид

у= .(5.21)

3. Если характеристическое уравнение (5.19) имеет комплексные корни k1 = а + ib и k2 = а – ib (D < 0), здесь i = - мнимая единица, а, b ¹ 0 – действительные числа, то общее решение уравнения (5.18) имеет вид



у = eах(C1 cos bx + C2 sin bx), (5.22)

где .

Здесь C1 и C2 – произвольные постоянные.

Пример 1.Найти частные решения следующих уравнений:

 

1. у'' - 3у' + 2у = 0, у(0) = 3, у'(0) = 4.

2. у'' - 2у' + у = 0, у(0) = 1, у'(0) = 0.

3. у'' - 4у' + 13у = 0, у(0) = 1, у'(0) = 8.

 

Решение.

 

1. Составим характеристическое уравнение

k2– 3k + 2 = 0,

откуда его корни k1 = 1, k2 = 2 (D > 0). Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

у = C1 eх+ C2 e.

Дифференцируя общее решение, получим:

у' = C1 eх+ 2 C2 e.

Согласно заданным начальным условиям имеем

откуда C1 = 2, C2 = 1. Таким образом, искомым частным решением является функция

у = 2 eх+ e.

2. Характеристическое уравнение

k2– 2k + 1 = 0

имеет при D = 0 действительные и равные корни k1 = k2 = k = 1. Тогда согласно п. 2 Теоремы 2общее решение дифференциального уравнения имеет вид

у = eх (C1 + C2 х).

Так как у = 1 при х = 0, то C1 = 1 и поскольку у' = eх (C1 + C2х) + C2eхи у' = 0 при х = 0, то C2 = -1. Таким образом, частное решение запишется в виде

у = (1 – х) eх.

3. Составляем характеристическое уравнение k2– 4k + 13 = 0 и при D < 0 находим его корни: k1 = 2 + 3i и k2 = 2 – 3i. Здесь а = 2, b = 3, поэтому согласно п.3 Теоремы2 общим решением является функция

у = e(C1 cos 3x + C2 sin 3x).

Учитывая, что у(0) = 1, получим C1 = 1.

Продифференцируем общее решение

у' = 2у - 3e(C1 sin 3x – C2 cos 3x)

и учтем, что у'(0) = 8. Тогда получим C2 = 2. Таким образом, приходим к частному решению

у = e(cos 3x + 2 sin 3x).

 

Найти решения уравнений

 

81. у'' - 5у' + 4у = 0 82. у'' - 2у' + 2у = 0
83. у'' - 4у' + 3у = 0 84. у'' - 4у = 0
85. у'' + 4 у' = 0 86. у'' + 3у' + 2у = 0
87. у'' - 6у' + 9у = 0 88. у'' - 4у' + 4у = 0
89. у'' + 2ау' + а2у = 0 90. у'' - 3у' = 0
91. у'' - 2у' + 2у = 0 92. у'' + у = 0
93. у'' - 6у' +45у = 0 94. у'' + 4у' + 8у = 0

 



Найти частные решения уравнений

 

95. у'' + 5у' + 6у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = -6
96. у'' - 9у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 6
97. у'' - у' - 2у = 0, если у(0) = 3, у'(0) = 0
98. у'' + 3у' + 2у = 0, если у(0) = -1, у'(0) = 3
99. у'' - 10у' + 25у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 8
100. у'' + 6у' + 9у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 1
101. у'' + 2у' + 5у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 1
102. у'' - 2у' + 2у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 3
103. у'' - 2у' + 10у = 0, если у = 0, у' =
104. 9у'' + у = 0, если у = 2, у' = 0
105. у'' + у = 0, если у'(0) = 1, у' = 0
106. у'' + 9у = 0, если у(0) = 0, у' = 1

 

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано дифференциальное уравнение

y׳׳ + py׳ + qy = f(x), (5.23)

где p и q – постоянные действительные коэффициенты, f(x) – заданная функция от х.

Теорема.Общее решение неоднородного уравнения (5.23) представляет собой сумму общего решения у0 соответствующего однородного уравнения (5.18) и какого – либо частного решения уч неоднородного уравнения.

Отыскание общего решения однородного уравнение осуществляется по правилам, изложенным в п. 2. Таким образом, задача интегрирования уравнения (5.23) сводится к отысканию частного решения уч неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (5.23) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных. Для правых частей (5.23) специального видачастное решение находится методом подбора.

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения

у׳׳ − 4у׳ + 3у = 6.

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения у׳׳− 4у׳ + 3у = 0.

Корни характеристического уравнения k2 – 4k + 3 = 0 (D > 0) k1 = 1, k2 = 3. Общее решение однородного уравнения имеет вид

у0 = С1е х + С2е

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде уч = С

(С – постоянная). Подставим С в исходное уравнение

С׳׳ − 4С׳ + 3С = 6,

откуда С = 2, т.е. уч = 2.

Общее решение данного неоднородного уравнения, равное сумме у0 и уч ,

запишется в виде

у = С1ех +Се + 2.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.