Уравнения второго порядка с постоянными
Коэффициентами
Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
у'' + ру' + qy = 0, (5.18)
где р и q – постоянные.
Определение 2.Линейной комбинацией функций у1(х) и у2(х) с коэффициентами C1 и C2 называется выражение вида
C1 у1(х) + C2 у2(х).
Определение 3. Если линейная комбинация C1 у1(х) + C2у2(х) равна нулю, только когда коэффициенты C1 и C2 равны нулю, то функции у1(х) и у2(х) называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми.
Общее решение уравнения (5.18) можно найти по его известным частным решениям у1(х) и у2(х).
Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Если у1(х) и у2(х) – линейно независимые частные решения уравнения (5.18), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т. е. имеет вид
у = С1 у1(х) + С2 у2(х),
где С1 и С2 – действительные числа.
Итак, для нахождения общего решения уравнения (5.18) достаточно найти два его линейно независимых частных решения. Будем искать эти частные решения в виде у = еkх, где k = const; тогда у' = kеkх, у'' = k2еkх. Подставляя эти выражения в уравнение (5.18), получим
еkх(k2+ рk + q) = 0.
Так как еkх ¹ 0, то
k2+ рk + q = 0.(5.19)
Это уравнение называется характеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения (5.18).
Решая характеристическое уравнение (5.19), найдем его корни k1 и k2, а, следовательно, и частные решения уравнения (5.18):
у1(х) = ; у2(х) = .
Общее решение дифференциального уравнения (5.18) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения. Справедлива теорема.
Теорема 2.
1. Пусть характеристическое уравнение (5.19) дифференциального уравнения (5.18) имеет различные действительные корни k1 и k2 (дискриминант D > 0). Тогда общее решение уравнения (5.18) имеет вид
у = C1 + C2 . (5.20)
2. Если характеристическое уравнение (5.19) имеет действительные равные корни k1 = k2 = k (D = 0), то общее решение уравнения (5.18) имеет вид
у= .(5.21)
3. Если характеристическое уравнение (5.19) имеет комплексные корни k1 = а + ib и k2 = а – ib (D < 0), здесь i = - мнимая единица, а, b ¹ 0 – действительные числа, то общее решение уравнения (5.18) имеет вид
у = eах(C1 cos bx + C2 sin bx), (5.22)
где .
Здесь C1 и C2 – произвольные постоянные.
Пример 1.Найти частные решения следующих уравнений:
1. у'' - 3у' + 2у = 0, у(0) = 3, у'(0) = 4.
2. у'' - 2у' + у = 0, у(0) = 1, у'(0) = 0.
3. у'' - 4у' + 13у = 0, у(0) = 1, у'(0) = 8.
Решение.
1. Составим характеристическое уравнение
k2– 3k + 2 = 0,
откуда его корни k1 = 1, k2 = 2 (D > 0). Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид
у = C1 eх+ C2 e2х.
Дифференцируя общее решение, получим:
у' = C1 eх+ 2 C2 e2х.
Согласно заданным начальным условиям имеем
откуда C1 = 2, C2 = 1. Таким образом, искомым частным решением является функция
у = 2 eх+ e2х .
2. Характеристическое уравнение
k2– 2k + 1 = 0
имеет при D = 0 действительные и равные корни k1 = k2 = k = 1. Тогда согласно п. 2 Теоремы 2общее решение дифференциального уравнения имеет вид
у = eх (C1 + C2 х).
Так как у = 1 при х = 0, то C1 = 1 и поскольку у' = eх (C1 + C2х) + C2eхи у' = 0 при х = 0, то C2 = -1. Таким образом, частное решение запишется в виде
у = (1 – х) eх.
3. Составляем характеристическое уравнение k2– 4k + 13 = 0 и при D < 0 находим его корни: k1 = 2 + 3i и k2 = 2 – 3i. Здесь а = 2, b = 3, поэтому согласно п.3 Теоремы2 общим решением является функция
у = e2х(C1 cos 3x + C2 sin 3x).
Учитывая, что у(0) = 1, получим C1 = 1.
Продифференцируем общее решение
у' = 2у - 3e2х(C1 sin 3x – C2 cos 3x)
и учтем, что у'(0) = 8. Тогда получим C2 = 2. Таким образом, приходим к частному решению
у = e2х(cos 3x + 2 sin 3x).
Найти решения уравнений
81.
| у'' - 5у' + 4у = 0
| 82.
| у'' - 2у' + 2у = 0
| 83.
| у'' - 4у' + 3у = 0
| 84.
| у'' - 4у = 0
| 85.
| у'' + 4 у' = 0
| 86.
| у'' + 3у' + 2у = 0
| 87.
| у'' - 6у' + 9у = 0
| 88.
| у'' - 4у' + 4у = 0
| 89.
| у'' + 2ау' + а2у = 0
| 90.
| у'' - 3у' = 0
| 91.
| у'' - 2у' + 2у = 0
| 92.
| у'' + у = 0
| 93.
| у'' - 6у' +45у = 0
| 94.
| у'' + 4у' + 8у = 0
|
Найти частные решения уравнений
95. у'' + 5у' + 6у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = -6
| 96. у'' - 9у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 6
| 97. у'' - у' - 2у = 0, если у(0) = 3, у'(0) = 0
| 98. у'' + 3у' + 2у = 0, если у(0) = -1, у'(0) = 3
| 99. у'' - 10у' + 25у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 8
| 100. у'' + 6у' + 9у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 1
| 101. у'' + 2у' + 5у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 1
| 102. у'' - 2у' + 2у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 3
| 103. у'' - 2у' + 10у = 0, если у = 0, у' =
| 104. 9у'' + у = 0, если у = 2, у' = 0
| 105. у'' + у = 0, если у'(0) = 1, у' = 0
| 106. у'' + 9у = 0, если у(0) = 0, у' = 1
|
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дано дифференциальное уравнение
y׳׳ + py׳ + qy = f(x), (5.23)
где p и q – постоянные действительные коэффициенты, f(x) – заданная функция от х.
Теорема.Общее решение неоднородного уравнения (5.23) представляет собой сумму общего решения у0 соответствующего однородного уравнения (5.18) и какого – либо частного решения уч неоднородного уравнения.
Отыскание общего решения однородного уравнение осуществляется по правилам, изложенным в п. 2. Таким образом, задача интегрирования уравнения (5.23) сводится к отысканию частного решения уч неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (5.23) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных. Для правых частей (5.23) специального видачастное решение находится методом подбора.
Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения
у׳׳ − 4у׳ + 3у = 6.
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения у׳׳− 4у׳ + 3у = 0.
Корни характеристического уравнения k2 – 4k + 3 = 0 (D > 0) k1 = 1, k2 = 3. Общее решение однородного уравнения имеет вид
у0 = С1е х + С2е3х
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде уч = С
(С – постоянная). Подставим С в исходное уравнение
С׳׳ − 4С׳ + 3С = 6,
откуда С = 2, т.е. уч = 2.
Общее решение данного неоднородного уравнения, равное сумме у0 и уч ,
запишется в виде
у = С1ех +Се3х + 2.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|