Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.
Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если .
Пусть и - две бесконечно малые функции при .
1) Если , то называются бесконечно малой более высокого порядка чем (при );
2) Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (при );
3) Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Эквивалентность обозначается так: ~ при .
Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при :
~ , ~ , ~ , ~ , ~ ,
~ , ~ , ~ , ~ , ~ ,
Пример 5. Найти пределы:
а) , б) .
Решение. а) =
б) = .
Пример 6. Найти предел:
.
Контрольные вопросы:
1. Понятие последовательности.
2. Понятие предела последовательности
4. Определение предела функции.
5. Свойства пределов.
6. Два замечательных предела.
7. Понятие эквивалентных бесконечно малых функций.
8.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.
Задания.
1. Вычислить пределы:
а) б) в) г)
2.Найти пределы последовательностей:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5)
3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:
а) б) в)
Тема 9.
Непрерывность функции
Функция называется непрерывной в точке , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;
2) существует ;
3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. ,
Обозначая (приращение аргумента) и , (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.
Функция называется непрерывной в точке справа, если выполняется условие (когда стремится к справа, оставаясь больше ).
Если , то говорят, что функция непрерывна слева (когда стремится к слева, оставаясь меньше ).
.
Если непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Функция имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.
Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции в точке , если существуют конечные односторонние пределы
и .
Скачком функции в точке называется разность его односторонних пределов , если они различны.
Если = , то точка называется точкой устранимого разрыва.
Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.
Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.
Пример 1.
Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где
Решение. При можно сократить на .
Следовательно, при . Легко
видеть, что . Значит, при функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию
Решение.Найдем односторонние пределы в точке , т.е.
.
В точке функция имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).
Пример 3.Доказать непрерывность функции .
Решение.Пусть - произвольное значение на числовой прямой.
Найдем и составим разность
Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине
,
.
Итак, отмечаем, что
.
Контрольные вопросы
1. Определение непрерывной функции в точке.
2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.
3. Свойства непрерывных функций.
Задания.
1) Показать, что при функция имеет разрыв.
2) Найти точки разрыва функции .
3) Каков характер разрыва функции в точке .
4) Исследовать на непрерывность функции
а) ; б)
Тема 10
Производная функции
Пусть функция определена на интервале .Определим:
- приращение аргумента в точке , а
- приращение функции в точке .
Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции в точке .
Значение производной -есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, абсцисса которой есть
Если - закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени -есть скорость этого движения.
. Основные правила дифференцирования.
Пусть - некоторая постоянная, , - функции, имеющие производные.
Справедливы следующие правила дифференцирования:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; .
6.Производная сложной функции.
Если функции и имеют конечные производные, то
7.Дифференцирование функции, заданной параметрически..
Пусть зависимость между и функцией задана параметрически в виде двух уравнений
где -вспомогательная переменная, называемая параметром.
Производная функции, заданной параметрически определяется по правилу
,или .
8. Производная обратной функции.
Пусть функция в некоторой окрестности точки возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция дифференцируема, в точке и производная отлична от нуля. Тогда обратная функция определена в некоторой окрестности соответствующей точки , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную .
9. Производная функции , , где и суть функции от , имеющие в данной точке производные и есть:
Пример 1.Исходя из определения производной, найти производную функции .
Решение.Зададим приращение , такое, что .
Тогда
;
Поэтому
;
Переходим к пределу при :
;
т.е. .
Пример 2.Исходя из определения производной функции, найти производную функции .
Решение.Находим
Откуда
и, следовательно
.
Итак, .
. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:
1. ; 11. ;
2. ; 12. ;
3. ; 13. ;
4. ; 14. ;
5. ; 15. ;
6. ; 16. ;
7. ; 17. ;
8. ; 18. ;
9. ; 19. .
10. ;
Пример 3.Найти производную функции .
Решение.
.
Пример 4.Найти производную .
Решение.Берем производную от как сложной функции
, где , .
, где ,
;
Итак,
.
Пример 5. Найти производную функции
Решение.Имеем , откуда
,
.
Пример 6.Найти , если , .
Решение. Имеем
Пример 7.Найти производную .
Решение.Показательная функция , определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции .
Согласно вышеуказанному утверждению, функция дифференцируема в любой точке и для ее производной справедлива формула .
Итак, .
Пример 8.Вычислить производную .
Решение.Функция , определенная на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим:
.
Мы взяли перед корнем знак +, т.к. положителен всюду на интервале .
Итак .
Понятие дифференциала.
Пусть функция имеет в точке конечную производную , тогда ее приращение можно записать в виде
,
где .
Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается :
.
При , получим , поэтому дифференциал функции примет вид
.
Основные свойства дифференциала
1) где = const,
2)
3) ,
4) ,
5)
6) .
Применение дифференциала для приближенных вычислений.
При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е. и
.
Пример 9.Найти дифференциал функции .
Решение.Найдем производную данной функции .
Следовательно, по определению дифференциала функции получим
.
Пример1 0. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение
Решение. Рассмотрим функцию . Пологая и применяя формулу , получим
.
3.Производные высших порядков.
Производной второго порядка (второй производной) функции называется производная от производной . Вторая производная обозначается так: , или , или .
Если - закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения.
Аналогично производная третьего порядка функции есть производная производной второго порядка и т.д., производной n-го порядка от функции называется производная от производной -го порядка . Обозначается n-я производная так: или , или .
Пример 10.Дана функция .
Найти: , , ,…
Решение.
; ;
; ; ;
.
Пример 11.Дана функция
Найти: .
Решение. ,
Контрольные вопросы.
Производная функции.
2.Основные правила дифференцирования.
3.Производная обратной функции.
4.Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
5.Понятия дифференциала функции.
6.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
7.Производные высших порядков.
Задания.
1. Пользуясь определением производной вычислить производные следующих функций:
1) ;
2) .
2. Найти производные и дифференциалы следующих функций
; ; ; ;
; ; ;
; .
3.Найти производные функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
4.Найти ,
1) если , ;
2) если , ;
3) если , .
5.Вычислить с помощью дифференциала приближенные значения
, , , .
6.Найти производные
1)обратных тригонометрических функций
; ; ; ; .
2) обратную к .
7. Найти , , ,…, для функций:
1) . 2) . 3) . 4) .
Тема 11
1.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора.
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и то в интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство (геометрический смысл: касательная в точке параллельна секущей АВ).
Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причём то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором где .
Формула Тейлора. Если функция имеет в точке все производные до порядка включительно, то
Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
При = 0 получаем частный случай формулы Тейлора-формулу Маклорена
Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:
,
,
Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции
если а=-3; в=3. Найти значение .
Решение. Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её значения на концах отрезка равны Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке выполняются. Значение определяем из уравнения , т.е. .
Пример 2. На дуге АВ кривой найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А(1,3) и В(3,3).
Решение. Функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение х= , удовлетворяющее равенству:
где
Подставив соответствующие значения, получим
Отсюда . Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).
Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х3 и и найти с.
Решение. Из формулы Коши имеем
, т.е. .
Отсюда, получим .
Пример 4.Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .
Решение. Представим, данную функцию в виде
.
Далее воспользуемся формулой .
Будем иметь
Пример 5.Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора
.
Решение. Так как
и то получим
Контрольные вопросы.
1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.
3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
Задания.
1. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Пояснить графически.
2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций: а) на отрезке
б) на отрезке
3.Проверить теорему Коши и найти с для функций: а) и на отрезке ,
б) х2 и на отрезке .
4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .
5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора
а) ,
б) .
Тема 12.
Правило Лопиталя. (раскрытиенеопределенностей)
Первое правило Лопиталя.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|