Сделай Сам Свою Работу на 5

Алгебраические дополнения и миноры.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

«Институт пищевых технологий и дизайна» - филиал государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Нижегородский инженерно-экономический университет»

Кафедра информационных технологий и математики

 

 

     

 

Е.Ю.Саляева

«Высшая математика»

Часть I.

 

Учебно-методические указания по выполнению контрольной работы для студентов

Заочной формы обучения

 

 

Нижний Новгород

 

Содержание  
  Тема 1.  
1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.  
2. Прямоугольные координаты на плоскости.  
3. Полярные координаты.  
4. Прямоугольная система координат в пространстве.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 2.  
1. Определители.  
2. Алгебраические дополнения и миноры.  
3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.  
Контрольные вопросы. Задания  
Тема 3.  
1. Матрицы  
2. Обратная матрица  
3. Матричный способ решения систем линейных уравнений.  
4. Ранг матрицы.  
5 Исследование системы линейных уравнений.  
6 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.  
Контрольные вопросы. Задания  
Тема 4.  
1.Векторы. Линейные операции над векторами.  
2.Базис. Разложение вектора по базису.  
3.Скалярное произведение.  
4.Векторное произведение.  
5.Смешанное произведение двух векторов  
Контрольные вопросы . Задания  
Тема 5.  
1.Уравнение плоскости.  
2.Уравнение прямой.  
Контрольные вопросы. Задания  
Тема 6.  
1Окружность.  
2.Эллипс.  
3.Гипербола.  
4. Парабола.  
Тема 7.  
1.Функция. Область определения.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 8.  
1.Предел последовательности.  
2.Предел функции.  
3.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 9.  
1. Непрерывность функции.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема10.  
1. Производная функция  
2. Понятие дифференциала.  
3. Производные высших порядков.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 11.  
1.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 12.  
1. Правило Лопиталя.  
Контрольные вопросы Задания.  
Тема 13.  
1.Касательная и нормаль к кривой.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 14.  
1.Неопределенный интеграл.  
2.Замена переменной в неопределённом интеграле.  
3.Интегрирование по частям.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема 15.  
1.Определённый интеграл  
2. Вычисление площадей плоских фигур.  
3. Вычисление объёмов тел вращения.  
4.Формулы длин дуг плоских кривых.  
Контрольные вопросы. Задания.  
Тема16.  
1.Несобственные интегралы.  
Контрольные вопросы. Задания.  

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.



Тема1

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Прямая с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчёта и единицей масштаба называется координатной осью.

 

Расстояние d между точками и на оси:

(1)

Деление отрезка в данном отношении: даны точки и . Координата точки , делящий отрезок в отношении , определяется по формуле:

(2)

В частности при делении отрезка пополам, т.е. в отношении имеем

(3)

Пример 1. Отрезок двумя точками разделён на три равные части. Определить координаты точек деления, если ,

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = Следовательно, по формуле (2) находим:

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда

=2

и по формуле (2) находим:

т.е.

Ответ: , .

2. Прямоугольная система координат на плоскости.

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оy, имеющие общее начало отсчета О и одинаковую единицу масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Расстояние между точками и на плоскости: . (4)

 

2º Деление отрезка в данном отношении: координаты точки , делящей отрезок между точками и в заданном отношении определяются по формулам:

; (5)

в частности, при делении отрезка пополам, т.е.

; (6)

 

Пример 2.Определите расстояние между точками и .

Решение.Воспользуемся формулой (4), получим:

.

 

Пример 3. Даны вершины треугольника: , и . Найти длину медианы, проведённой из вершины .

Решение.Найдём координаты точки - середины отрезка ; имеем:

; ; .

Вычислим теперь длину медианы :

.

 

Полярные координаты.

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется её расстоянием от полюса ( -полярный радиус вектор точки M) и углом , образованный отрезком с полярной осью Ох ( полярный угол точки). Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Если начало декартовой системы координат совместить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоугольные координаты и точки и её полярные координаты и связаны формулами:

(7)

Пример 4. Найти прямоугольные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение.Используя формулу (7) имеем:

, .

Итак,

 

4. Прямоугольная система координат в пространстве.

Три взаимно перпендикулярные координатные оси Ох, Оу, Оz с общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат в .

Точка О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.

Пусть М произвольная точка пространства и - радиус вектор точки М. Проекции радиус вектора на оси координат , , называются прямоугольными координатами точки или вектора . Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке соответствует единственная упорядоченная тройка её прямоугольные координаты и обратно, каждой упорядоченной тройка соответствует, и притом одна единственная точка в пространстве .

 

Расстояние между точками и :

(8)

В частности, расстояние точки от начала координаты определяется:

(9)

2º Если отрезок, концами которого служат точки и разделён точкой в отношении , то координаты точки определяются соотношением:

; ; . (10)

 

Пример 5.Даны точки и . Найти координаты точек и , делящих отрезок на три равных части.

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = . Следовательно, по формуле (10) находим:

; ; ;

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда и по формуле (10) находим:

; ;

т.е. . Ответ: , .

Контрольные вопросы

 

 

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

2. Прямоугольная система координат плоскости.

3. Полярные координаты.

4. Прямоугольная система координат в .

Задания.

1) Определить расстояние между точками: а) и ; б) и .

2) Найти точку , симметричную точке относительно точки .

3) Найти координаты середины отрезка, если известны его концы: 1) и ; 2) , .

4)Определить расстояние между точками: 1) и ; 2) и .

5) Известны точки , - концы отрезка . Показать, что на этом отрезке находится точка , расстояние которой от точки в два раза больше расстояния от точки .

6) Построить точки, заданные полярными координатами , , , .

7) Определить расстояние между точками и . (Применить к треугольнику теорему косинусов.)

9) Найти полярные координаты точек, симметричных точкам , , : 1) относительно полюса; 2) относительно полярной оси.

10) Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами , и

11) В каком отношении точка равноудалённая от точек и , разделит отрезок от начала координат до точки

12) Даны следующие вершины куба , , и . Определить его остальные вершины.

 

Тема 2.

Определители.

1º Определителем второго порядка

называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:

 

(1)

Определитель третьего порядка записывается в виде

(2)

 

и определяется равенством

.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы строками:

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца)определителя можно вынести за знак определителя:

 

3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

 

5. При перестановке двух строк (столбцов) определителя , определитель меняет знак на противоположный

 

6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.

7. .

 

Площадь треугольника с вершинами , , равен

(3)

 

Алгебраические дополнения и миноры.

Минором некоторого элемента определителя, называется определитель, получаемый из данного определителя путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент и обозначается . Например, минором элемента определителя = является определитель = , минором элемента является определитель = и т.д..

Алгебраическое дополнение элемента равно минору этого элемента взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент, есть число чётное, и с обратным, если это число – нечётное т.е. .

Определитель равен сумме произведений элементов, какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Например,

.

Пример 1. Вычислить определитель:

 

3.Решение системы методом Крамера. Исследование системы.

Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решение.

Если все равны нулю, то система называется однородной.

 

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

при условии, что определитель системы

=

не равен нулю, имеет следующее единственное решение:

 

(5)

 

где ; ; = .

 

Если определитель системы , то возможны два предположения:

1. Элементы двух строк определителя пропорциональны, например: , тогда:

а) если ,то система не совместна;

б) если , то система не определена;

2. Если найдутся числа и такие, что:

,

 

тогда: а) если , то система не совместна;

б) если , то система не определена.

 

Пример 2. Дана система линейных уравнений:

Установить, что система совместна и найти её решение методом Крамера.

Решение. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементам строки. Разложим по первой строке:

Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение. Найдём решение системы по формуле Крамера.

; ;

; ;

Пример 3. Решить систему уравнений.

Решение. и . Однако система не имеет решений. В самом деле, умножим первое уравнение на -2 и сложим со вторым уравнением системы, получим , что не возможно, т.е. система не совместна и не имеет решений.

 

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение. , Система имеет бесконечно много решений. В самом деле, складывая первые два уравнения, получаем третью и данная система имеет два существенных уравнения:

Следовательно, получим

Контрольные вопросы

1. Определители.

2. Алгебраические дополнения и миноры.

3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.

 

Задания.

1. Вычислить определители, разложив их по элементам:а) первого столбца; б) по элементам третьей строки.

, .

2. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя.

.

4. Решить системы уравнений методом Крамера.

, , .

.

Тема 3

1. Матрицы.

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей третьего порядка, а определитель

соответствующим определителем этой матрицы.

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей второго порядка, а определитель

соответствующим определителем этой матрицы.

 

 

1.Матрица A называется невырожденной, если и вырожденной (особой), если .

2.Если элементы , то матрица называется симметрической

3.Две матрицы и считается равными тогда и только тогда когда .

4. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которого равны нулю

5. Единичной матрицей называется матрица ,

 

Элементарные преобразование матриц.

 

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1) Перестановка местами двух параллельных строк (столбцов) матрицы;

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное то нуля;

3)Прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов параллельной строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получится из другой с помощью элементарных преобразований.

Суммой двух матриц А и В называется матрица А+В, определяемое равенством

Произведением матрицы А на число называется матрица , определяемое равенством

Произведением двух матриц A и B называется матрица AB определяемое равенством

,

т.е. элемент матрицы – произведения стоящей в -й строке и k - м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы A и k-го столбца матрицы B.

Для произведения двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: .

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц .

Обратная матрица

1)Матрица B называется обратной по отношению к матрице А, если . Матрицу, обратную по отношению к матрице A, принято обозначать .

2) Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

3) Обратная матрица к матрице находится по формуле

,

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы .

 

4)Обратная матрица к матрице находится по формуле

где - алгебраические дополнения элемента определителя .

Пример1. Найти сумму и произведения матриц и .

 

Решение.

,

 

Пример 2. Найти обратную матрицу к матрице

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

; ; :

; ; ;

; ; .

Следовательно,

.

3. Матричный способ решения линейных уравнений.

Матрицей – столбцом называется матрица вида .

Произведение определяется равенством:

Система уравнений

может быть записана в виде

 

,

 

где .

Решение этой системы имеет вид , если .

 

 

Пример 3. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

Решение.Перепишем систему в виде ,

где , , .

Решение матричного уравнения имеет вид . Найдем . Имеем

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Таким образом, .

Откуда

Следовательно, , , .

Пример 4 Решить матричные уравнения , где .

 

Решение.

1) Найдем обратную матрицу . Обратная матрица к матрице вычисляется по формуле:

,

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы , находящегося на пересечении -ой строки и -го столбца.

, то .

2)Умножим слева правую и левую части равенства на . Получим .



©2015- 2018 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.