Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнение плоскости.
.Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка М , заданная радиус-вектором {х ,у , }. Пусть также задан некоторый вектор .Построим уравнение плоскости Р проходящей через точку M перпендикулярно вектору .
Пусть M(x, , z) - любая точка плоскости с радиус-вектором . Тогда вектор = будет перпендикулярен вектору . Скалярное произведение и равен нулю:
.
В координатной форме это уравнение имеет вид:
А(х- х ) +В(у- у ) + C(z- z ) = 0. (1)
Данное уравнение определяет уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
Вектор {А,В,С} называется нормальным вектором плоскости (1).
Теорема. Любая плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени и является поверхностью первого порядка. Верно и обратное утверждение: любое уравнение первой степени относительно переменных х, у, z определяет плоскость в пространстве.
. Общее уравнение плоскости
(2).
Вектор - является нормальным вектором плоскости (1) или (2).
. Особые случаи уравнения :
а) , - плоскость проходит через начало координат.
б) , - плоскость параллельна оси oz.
в) , - плоскость проходит через ось oz.
г) , - плоскость параллельна плоскости .
д) Уравнение координатных плоскостей х=0, у=0, z=0
. е) Уравнение плоскости в отрезках на осях:
. (3)
. Пусть заданы две плоскости
,
.
Угол образованный двумя плоскостями:
,. (4)
Условие параллельности плоскостей
. (5)
Условие перпендикулярности плоскостей
. (6)
Расстояние от точки до плоскости :
. (7)
Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .
Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:
или
Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости .
Решение. Вектор есть нормальный вектор плоскости .
Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы , и - компланарны. Условие компланарности данных трёх векторов есть:
,
или - уравнение искомой плоскости.
Пример 3. Найти расстояние от точки до плоскости .
Решение.
Уравнение прямой.
.Найдем уравнение прямой проходящей через точку и параллельной вектору . Пусть - произвольная точка прямой, тогда и по условию параллельности векторов:
(8)
Уравнение (8)- называется каноническим и является искомым уравнением прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой.
. Параметрическое уравнение прямой:
(9)
.Уравнение прямой, проходящей через две точки :
(10)
. Общее уравнение прямой:
(11)
. Угол между прямыми. Угол между прямыми, заданными их каноническими уравнениями: и определяется по формуле
(12)
Условие параллельности двух прямых:
(13)
Условие перпендикулярности двух прямых:
(14)
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованной прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
; (15)
Условие параллельности прямой и плоскости
(16);
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
(17).
.Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрическое уравнение прямой , , , и подставив ее в уравнение плоскости , получим некоторое значение . Подставив найденное значение в уравнение прямой, находим искомую точку пересечения прямой с плоскостью.
Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .
Решение. Воспользуемся формулой (10) получим: или .
Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми
и .
Решение. Точка - точка первой прямой, - точка второй прямой. - направляющий вектор.
, где - угол между векторами и N.
, .
.
.
и
Ответ: .
Пример 6.Для пирамиды с вершинами в точках: , найти
а) длину ребра
б) угол между ребрами и
в) уравнение плоскости
г) площадь грани
д) угол между ребром и плоскостью
е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань
ж) объем пирамиды
Решение. а) Длина ребра
.
б) Угол между ребрами и .
Обозначим через - угол между ребрами и . Тогда, если угол между векторами и острый, то равен этому углу, если же угол между этими векторами тупой, то равен этому углу минус . Так как
,
,
, то
.
Отсюда, угол между векторами и равен . Следовательно, .
в) Уравнение плоскости . Уравнение плоскости, проходящей через три точки , вычисляется по формуле
где -соответственно координаты этих точек.
Таким образом,
,
- уравнение плоскости .
г) Площадь грани .
Так как и , то
.
Отсюда - площадь грани .
д) Угол между ребром и плоскостью .
Угол между ребром и плоскостью равен , где
-угол между вектором и нормалью к плоскости , т.е. -угол между векторами и и .
Так как , то ,
, , , то .
Следовательно, и
.
е) Уравнение высоты, опущенной из точки на грань .
Пусть M – произвольная точка прямой, перпендикулярной плоскости грани и проходящей через точку .
Тогда скалярные произведения и .Так как , и , то
Следовательно,
-уравнение искомой прямой.
Или - каноническое уравнение искомой прямой.
ж) Объем пирамиды .
Так как , , , то
;
- объем пирамиды .
Контрольные вопросы.
1. Уравнение плоскости.
2. Угол между плоскостями.
3. Расстояние от точки до плоскости.
4. Уравнение прямой.
5. Угол между прямыми.
6. Прямая и плоскость
Задания.
1. Найти расстояние точки от плоскости проходящей через точки , , .
2. Найти плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости Найти угол между плоскостями и
3. Составить параметрическое уравнение прямой проходящей через
точку параллельно вектору .
4. Составить каноническое уравнение прямой, проходящие через
две данные точки и .
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую и перпендикулярной плоскости .
6.Для пирамиды с вершинами в точках: , найти
а) длину ребра
б) угол между ребрами и
в) уравнение плоскости
г) площадь грани
д) угол между ребром и плоскостью
е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань
ж) объем пирамиды
Тема 6
Кривые второго порядка.
Окружность
Окружность- это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным :
Если раскрыть скобки в левой части уравнения (1) то получится уравнение вида
Пример 1.Написать уравнение окружности с центром и радиусом .
Решение. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом есть:
.
1.Эллипс.
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2а. Т.е., если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса имеем: . Числа , называются фокальными радиусами точки .
Расстояние между фокусами и обозначим через 2с. Примем за ось абсцисс, прямую соединяющую фокусы, выбрав на ней положительное направление от к ; начало координат возьмём в середине отрезка . Тогда координаты точек и будут соответственно: и .
Каноническое уравнение эллипса:
(1)
где , . Числа и называются полуосями эллипса.
Вершины эллипса имеют следующие координаты , , , .
Из уравнения
следует, что или Аналогично, Следовательно, эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами, равными 2а и 2b, с центром в начале координат. Если а = b (с = 0), уравнение примет вид: х2 + у2 = а2 и определяет окружность.
Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса. Так, при очень малом а и b почти равны и эллипс напоминает окружность. Если же величина близка к единице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.
Пример2.Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 8 ,а малая полуось =3.
Решение. Расстояние между фокусами , следовательно, .Так как ,то .Следовательно, каноническое уравнение данного эллипса есть .
2.Гипербола.
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим эту постоянную через 2а, а- расстояние между фокусами гиперболы. Пусть - произвольная точка гиперболы.
По определению гиперболы имеем:
Числа , называются фокальными радиусами точки .
Каноническое уравнение гиперболы:
(2)
где ,Число а- называется действительной, а число -мнимой полуосями гиперболы .
Ось симметрии на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии - центром гиперболы;
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для любой гиперболы величина эксцентриситета определяет форму гиперболы.
Замечание 1. у= ( /а)х и у= - ( /а)х - асимптоты гиперболы. Если а = , то такая гипербола называется равносторонней.
Замечание 2. Если мнимая ось гиперболы равна2а и расположена на оси Оx, а действительная ось равна 2 и расположена на оси Оy, то уравнение такой гиперболы имеет вид:
y/а - x2/ 2 = 1 (3).
Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными гиперболами.
Пример3.Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2.Написать ее уравнение и найти расстояние точки от фокусов.
Решение.Общий вид уравнения гиперболы есть: + =1. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2, следовательно, =3 , a = 2 .Следовательно, -уравнение искомой гиперболы. .
и -фокусы данной гиперболы. ,
3. Парабола.
Парабола есть геометрическое место точек, равностоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой.
Выберем систему координат таким
образом: за ось Оx примем прямую
проходящую через фокус .
Пусть - произвольная точка
лежащая на параболе. Пусть точка
N – основание перпендикуляра
опущенного из М на директрису.
По определению параболы .
Каноническое уравнение параболы:
. (3)
Уравнение директрисы записывается в виде: .
Точка (0.0) – точка пересечения параболы с осью симметрии и называется вершиной параболы.
Пример4.Написать уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через точки (0,0) и (2,-4).
Решение. Уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через начало координат есть .Точка (2,-4)-лежит на параболе, следовательно ,(-4) = , и уравнение параболы имеет вид
Контрольные вопросы.
1.Эллипс.
2. Гипербола.
3. Парабола.
Задания.
1.Написать уравнение окружности с центром и радиусом . Лежат ли на этой окружности точки , , .
2.Построить эллипс . Найти: 1)полуоси, 2)координаты фокусов,3) эксцентриситет.
3.Построить гиперболу . Найти: 1)действительную и мнимую полуоси, 2)координаты фокусов, 3) эксцентриситет, 4) уравнения асимптот.
4.Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки и от прямой . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
Математический анализ.
Тема 7.
1.Функция. Область определения.
Понятие функции. Пусть Х и У – два множества вещественных чисел. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве Х задана функция, область значения которой расположена в У. Это можно записать так:
.
Множество Х- называют областью определения функции, а множество У, состоящее из всех чисел вида множеством значений функции.
Если у является функцией от х, то пишут . Область определения обозначается через , а множество значений – через .
Основные элементарные функции. Основными элементарными функциями называют следующие функции:
1) степенная функция ,
2) показательная функция , где а- любое положительное число, отличное от единицы: ,
3) логарифмическая функция , где а- любое положительное число, отличное от единицы: ,
4) тригонометрические функции:
5) обратные тригонометрические функции: , , .
Элементарными называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырёх арифметических действий и применённых конечное число раз.
Пример неэлементарной функции:
Графиком функции называется множество точек плоскости хОу с координатами , где .
Функция , область определения которой симметрична относительно нуля, называется чётной, если для и нечётной, если , .
Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
Функция называется периодической, если существует положительное число Т такое, что при и выполняется равенство = .
Пример 1. Найти область определения функции .
Решение. Данная функция определена, если и . Решаем эту систему:
Ясно, что искомое неравенство имеет место при , значит полученное множество есть область определения данной функции.
Пример 2. Установить чётность или нечётность функции .
Решение. Для данной функции область определения симметрична относительно нуля: .
Заменяя х на –х, получим , т.е. . Итак, данная функция чётная.
Пример 3. Найти основной период функции .
Решение. Так как основной период функции есть , то основной период функции есть , т.е. .
Контрольные вопросы.
1.Элементарные функции и их графики.
2.Понятие функции. Область определения.
Задания.
1) Найти область определения функции:
а) б)
в) г) .
2) Какая из функций является чётной, какая нечётной:
а) б)
г) д)
3) Найти периоды функций:
а) , б) .
Тема 8.
1.Предел последовательности.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|