Основное уравнение гидростатики

Глава 2. ГИДРОСТАТИКА

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматривается равновесии жидкости и твердых тел, полностью или частично погруженных в жидкость.

Силы, действующие в жидкости

Различают два типа внешних сил, действующих на элемент жидкости – массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе или объему жидкости:

,

где j – ускорение, сообщаемое массовой силой, Dm – масса элемента жидкости, которая для однородной жидкости пропорциональна его объему DV:

,

где r - плотность, одинаковая в данном объеме жидкости.

К массовым силам относятся сила тяжести, сила инерции (а также магнитная сила и др., не рассматриваемые в курсе).

Сила тяжести:

,

где g – ускорение свободного падения.

Сила инерции:

,

где - ускорение, с которым движется элемент жидкости.

Поверхностные силы, при равномерном распределении по поверхности пропорциональны площади поверхности, по которой они действуют. К поверхностным силам относятся силы давления и трения. Плотность распределяемых поверхностных сил называется напряжением.

Так как в гидростатике жидкость находится в равновесии, то нет относительных движений элементов жидкости относительно друг друга, значит отсутствуют силы инерции и трения.

Гидростатическое давление

Рассмотрим объем жидкости, находящийся в равновесии. Разделим его плоскостью на две произвольные части I и II. Первую часть отбросим, а для сохранения равновесия части II суммарное воздействие на нее заменим силой Р. Тогда напряжение будет называться средним гидростатическим давлением, действующим на площадку w, а предел отношения:

- гидростатическим давлением в данной точке, то есть гидростатическое давление есть напряжение, возникающее в жидкости, находящейся в равновесии. Единица измерения в системе СИ – Па = Н/м².

Свойства гидростатического давления.

Свойство 1. Давление действует по внутренней нормали к площадке действия. У давления нет касательной составляющей, так как их наличие связано с силами трения, отсутствующими в жидкости в состоянии покоя. Давление не может быть направлено по внешней нормали, так как в жидкости отсутствуют напряжения растяжения.

Свойство 2. Величина давления в данной точке не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которую оно действует. Докажем это.

Вырежем из жидкости элементарную призму с бесконечно малыми сторонами dx, dy, dz, dn, площади граней которых равны , , , , и запишем для нее условия равновесия.

На грани призмы действуют силы гидростатического давления:

где p_x, p_y, p_z, p – давления в центрах тяжести граней призмы.

Призма находится под действием силы тяжести:

,

которая является величиной более высокого порядка малости, чем силы гидростатического давления и далее не учитывается.

Спроектируем силы на оси координат x и z, учитывая, что проекции и на эти оси равны 0:

Так как , , то из последней системы следует . Следовательно, гидростатическое давление на наклонную грань р одинаково по величине с гидростатическим давлением на вертикальную и горизонтальную грани. Так как угол наклона грани a взят произвольно, то можно утверждать, что гидростатическое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве. Это свойство не требует специального доказательства, так как очевидно, что по мере увеличения заглубления точки под уровень давление в ней будет возрастать и, наоборот, по мере уменьшения заглубления - уменьшаться.

Основное уравнение гидростатики

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат. Выберем в центре параллелепипеда точку А. Давление в этой точке равно p = f(x,y,z). Так как это давление является непрерывной функцией координат, то, разлагая ее в ряд Тейлора с точностью до бесконечно малых 1-го порядка, получим для давления на гранях 1 и 2, перпендикулярных оси х:

.

Силы, действующие на грани 1 и 2:

.

Пусть ускорение массовой силы задано вектором . Тогда проекция массовой силы на ось равна:

.

Условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось х:

.

Аналогично рассматриваем равновесии по осям y и z. Получим систему:

Это система уравнений Эйлера, полученная в 1755 г.

Умножим каждое из этих уравнений на dx, dy, dz и, сложив, получим:

.

Так как гидростатическое давление зависит только от координат x, y, z, то выражение в скобках представляет собой полный дифференциал функции р:

.

Тогда

. (1)

Это уравнение называют основным дифференциальным уравнением гидростатики.

Поверхность равного давления называют поверхностью уровня. Так как для этой поверхности p=const, то dp=0, и (1) имеет вид:

(2)

Из уравнения (2) находится уравнение поверхности уровня.

Свободная поверхность – это поверхность уровня, являющаяся границей жидкой и газообразной среды.

Пусть из массовых сил действует только сила тяжести. Вектор ее ускорения равен . Тогда из (1):

.

После интегрирования для однородной жидкости получим:

(3)

Это основное уравнение гидростатики.

Постоянную интегрирования С определим из условия на поверхности жидкости: при z = z₀ давление р = р₀:

.

Тогда (3) принимает вид:

или .

Величина h = z₀ – z представляет собой глубину погружения. Тогда:

.

Это другая форма основного уравнения гидростатики: величина давления жидкости в точке прямо пропорциональна вертикальной координате, то есть глубине погружения точки под уровень.

Дифференциальное уравнение поверхности уровня (2) в поле силы тяжести имеет вид:

.

После интегрирования: z = const, то есть для однородной жидкости, находящейся в состоянии покоя под действием силы тяжести, поверхности уровня являются горизонтальными поверхностями( в том числе и свободная поверхность.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: