Расчет среднестатистической и максимально вероятности

осевых нагрузок и

Статистическая совокупность измеренных осевых нагрузок от подвижного состава, тс/ось, представлена в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Результаты измерений осевых нагрузок от подвижного состава

Полученные значения случайной величины называются простой статистической совокупностью. Для установления закономерности исследуемой величины и ее характеристики простая статистическая совокупность подвергается обработке:

а) Все данные располагаются в порядке возрастания или убывания значений случайной величины. Получается так называемый вариационный ряд. Данные приведенного выше результата измерений, расположенные в порядке возрастания, представлены в таблице 2.2.

б) Данные вариационного ряда разбиваются на группы (разряды). Число разрядов зависит от объемов выборки. Практика показывает, что в большинстве случаев целесообразно выбирать число разрядов порядка 10-20.

Таблица 2.2

Вариационный ряд осевых нагрузок, измеренных на участке

Величина интервала разряда зависит от размаха колебаний случайной величины и минимальных интервалов. Проще брать разряды одинаковыми по величине интервала. Крайние значения случайной величины при небольшом числе данных обычно объединяются в один – два разряда с увеличенным интервалом.

Величина интервала определяется по формуле:

(2.12)

где		-	число разрядов;
		-	максимальное и минимальное значение случайной величины в вариационном ряду.

Например, для вариационного ряда при k =12, ;

в) По вариационному ряду в каждом разряде подсчитывается число наблюдений (частоты), затем определяются значения частостей:

(2.13)

где		-	частость, выражает статистическую вероятность того, что случайная величина окажется в -ом разряде;
		-	частота или число наблюдений в -ом разряде;
		-	номер разряда.

г) Полученные значения разрядов частот и частостей оформляются в виде статистического ряда, который приведен в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Статистический ряд случайных величин

Номер разряда	Значение промежутков в разряде,	Среднее значение промежутка,	Частота,	Частость,
	[9-10)	9,5		0,0125	0,1188	1,1281
	[10-12)			0,0500	0,5500	6,0500
	[12-14)			0,0750	0,9750	12,6750
	[14-16)			0,0875	1,3125	19,6875
	[16-18)			0,1375	2,3375	39,7375
	[18-20)			0,1625	3,0870	58,6625
	[20-22)			0,1250	2,6250	55,1250
	[22-24)			0,1125	2,5875	59,5125
	[24-26)			0,1000	2,5000	62,5000
	[26-28)			0,0750	2,0250	54,6750
	[28-30)			0,0375	1,0875	31,5375
	[30-32]			0,0250	0,7750	24,0250
ИТОГО:		1,0	19,9808	425,3156

Например, частость ( ) для первого разряда статистического ряда (таблица 2.3) будет равна

д) Для наглядности статистическое распределение случайной величины изображается гистограммой, которая представляет собой графическое изображение статистического ряда. Соединив середины верхних сторон прямоугольников, получим многоугольник распределения случайной величины (рис.2.1).

Из гистограммы рис.2.1 видно, что статистический ряд распределяется неравномерно, но можно установить, что частота постепенно увеличивается к середине и дальше идет на спад.

е) По данным статистического ряда определяются числовые характеристики простой статистической совокупности:

- первый начальный момент или статистическое среднее:

(2.14)

Рисунок 2.1. Гистограмма или многоугольник распределения по данным статистического ряда

где - среднее значение промежутка определяется по формуле:

(2.15)

- статистическая дисперсия:

(2.16)

где - статистический второй начальный момент, который определяется по формуле:

(2.17)

- статистическое среднее квадратическое отклонение:

(2.18)

Расчет описанных выше характеристик произведен в табличной форме и представлен в таблице 2.3.

При подстановке полученных результатов:

тс, т/с² т/с

После выполняют выравнивание статистического ряда и проводится оценка согласования теоретического и статистического распределения.

Подбор закона распределения с достаточной точностью описывающего распределение случайной величины производят исходя из физической сущности исследуемого процесса. Дополнительными признаками могут служить внешний вид гистограммы или многоугольника распределения и значения числовых характеристик статистического распределения случайной величины.

Так, для нормального распределения все рассеивания (с точностью до 0,1 %) укладываются на участке .Для рассматриваемой статистической совокупности гистограмма или многоугольник распределения имеют вид, приведенный на рисунке 2.1. По их внешнему виду можно предположить, что осевые нагрузки можно описать нормальным законом распределения.

Для проверки гипотезы о законе распределения измеряемой случайной величины производят расчет координат теоретической кривой распределения и проверку ее согласия со статистическим распределением.

Координаты теоретической кривой распределения рассчитываются для граничных значений разрядов статистического ряда по его числовым характеристикам путем нахождения вероятности попадания измеряемой величины в определенный интервал.

Для нормального закона распределения измеряемой случайной величины Х вероятность попадания ее в -ый интервал определяется по формуле:

(2.19)

где		-	соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величины в -ом разряде статистического ряда;
		-	стандартная функция Лапласа, значения которой затабулированы в зависимости от

(2.20)

где

-

номер разряда статистического ряда.

Частоты теоретического распределения случайной величины определяются как:

(2.21)

где - частость распределения в j-том разряде;

- общее число измерений, принятых к исследованию.

Все расчеты сведены в таблицу 2.4.

Таблица 2.4

Расчет координат теоретического ряда распределения осевых нагрузок

Номер разряда	Значение промежутков в разряде,
			-2,2	-0,4861	-	-	-	-	-
	[9-10)		-2	-0,4772	0,0089	0,0125
	[10-12)		-1,6	-0,4452	0,0320	0,0500			0,33
	[12-14)		-1,2	-0,3849	0,0603	0,0750			0,20
	[14-16)		-0,8	-0,2881	0,0968	0,0875			0,13
	[16-18)		-0,4	-0,1554	0,1327	0,1375
	[18-20)			0,0000	0,1554	0,1625			0,08
	[20-22)		0,4	0,1554	0,1554	0,1250			0,33
	[22-24)		0,8	0,2881	0,1327	0,1125			0,36
	[24-26)		1,2	0,3849	0,0968	0,1000
	[26-28)		1,6	0,4452	0,0603	0,0750			0,2
	[28-30)			0,4772	0,0320	0,0375
	[30-32]		2,4	0,4918	0,0146	0,0250
ИТОГО:	0,9779	1,0			2,63

Примечание: - частость теоретического ряда.

На рисунке 2.2 представлена гистограмма или многоугольник распределения по данным теоретического ряда таблицы 2.4.

Многоугольник распределения имеет форму симметричного «колокола» (частость постепенно увеличивается до середины и потом плавно уменьшается), что свидетельствует о правильности ряда для нормального закона распределения.

Вопрос согласования теоретического и статистического распределения решается с помощью «критериев согласия».

Рисунок 2.2. Гистограмма и многоугольник распределения по данным теоретического ряда

Наиболее распространенным в практике измерений является критерий Пирсона. При проверке согласованности теоретического и статистического распределения по критерию Пирсона выполняются следующие операции:

а) Подсчитывается величина по формуле:

(2.22)

где и – частоты соответственно статистического и теоретического распределения в -ом разряде;

– номер разряда статистического ряда ( =1,2,….k);

Частоты теоретического распределения случайной величины могут быть определены по формуле:

(2.23)

где - частость теоретического распределения в -ом разряде;

- общее число измерений;

б) Определяется число степеней свободы :

(2.25)

где		-	число разрядов статистического ряда;
		-	число наложенных связей или количество числовых характеристик статистического распределения, используемых при расчете координат теоретической кривой распределения.

Для нормального распределения:

в) Для значения и по таблице распределения Пирсона (приложения III)определяется вероятность так, что отклонения между теоретическим и статистическим распределением вызваны случайным колебанием измеряемой величины в выборке.

Для данного примера ,. R=12–3=9. Из таблицы приложения III определяем = 0,97, что соответствует хорошей сходимости теоретического и статистического распределений.

Правило Романовского значительно облегчает применение согласия Пирсона для оценки расхождения между теоретическим и статистическим распределением. Согласно этому правилу, если

то согласование теоретического и статистического распределений можно считать хорошим.

В нашем случае имеем: . Это свидетельствует о хорошей сходимости теоретического и статического распределения.

Максимальная вероятная осевая нагрузка , определяется по формуле:

(2.26)

По формуле 2.3 определяются для прямых и кривых участков отказы рельсов в зависимости от пропущенного тоннажа (принимаем шаг наработки 50 млн.т брутто) до величины допускаемого количества отказов рельсов [h].

Результаты расчетов по определению отказов рельсов сводятся в таблицу, и строится график зависимости отказов рельсов от пропущенного тоннажа.

Наработка тоннажа, при которой количество отказов рельсов будет превышать допускаемому, прогнозный ресурс в годах между капитальными ремонтами пути и количества одиночных отказов рельсов за последний год перед капитальным ремонтом пути определяются по формулам 2.4, 2.6 и 2.7 соответственно.

Приложение I

Значения переводных коэффициентов эталонных объектов

конструкций верхнего строения пути

Таблица I.1 - Значения коэффициента, учитывающего конструктивные особенности конструкций пути

Таблица I.2 - Значения коэффициента, учитывающего конструктивные особенности стрелочных переводов

'Примечание к таблице 2: Для нецентрализованных стрелочных переводов табличное значение коэффициента умножать на Ккнц = 0,75

Таблица I.3 - Значения коэффициента, учитывающего условия эксплуатации линейных конструкций пути и стрелочных переводов

Примечания:

1. Для стрелочных переводов табличные значения умножать на коэффициент Кэп, учитывающий интенсивность работы стрелок: при количестве переводов стрелок в сутки от 51 до 100 Кэп = 1,25, от 101 и более Кэп = 1,50

2. Для участков пути, по которым осуществляются перевозки руды, угля, сыпучих и наливных грузов, расположенных в пределах 200 км от места погрузки, табличные значения умножать на коэффициент Кэс: при объемах до 5 млн.т.в год Кэс = 1,05, от 5 до 15 млн.т. Кэс = 1,10, свыше 15 млн.т. Кэс = 1,15

3. Для участков пути с неблагоприятными условиями профиля (перевальные, с применением рекуперативного торможения, преодолеваемые с кратной тягой и другие участки пути, подверженные дополнительным воздействиям продольных сил от поезда) табличные значения умножать на коэффициент Кэт = 1,30

Таблица I.4 - Значения коэффициента, учитывающего наработку тоннажа с момента строительства или капитального ремонта пути и стрелочных переводов

Таблица I.5 - Значения коэффициента, учитывающего климатические условия

Примечание к таблице VI.5:

Табличные значения умножать на коэффициент К_t, учитывающий расчётную амплитуду температуры рельсов:

при амплитуде 80^оС и менее К_t = 0,95, при амплитуде более110^оС К_t = 1,10

Приложение II

Интегральная функция Лапласа

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: