Замена переменной в неопределённом интеграле

Иногда удаётся перейти к более простому интегралу, заменив переменную. Пусть дан . Представим, что аргумент – некоторая функция . Тогда – новая функция от параметра t. Обозначим её как . Кроме того, . Подставим:

Но также новая функция от параметра t, обозначим её как . Получили новый интеграл . Задача – подобрать замену так, чтобы новый интеграл оказался проще исходного.

Для этого некоторую часть функции заменяют параметром t: , выражают из этого равенства переменную: и затем уже приходят к интегралу от . Как правило, t – это какой-либо корень, скобка, показательная функция и т.п. – всё, что неудобно интегрировать.

Фактически интегрирование заменой переменных начинается не с поиска подстановки , а с обозначения некоторой части функции новой буквой t, с последующим выражением x как функции и пересчётом .

Пример 1. Найдём . Можно раскрыть 4-ю степень скобки, получить 5 слагаемых, раскрыть произведение двух скобок и проинтегрировать всё, что получится. Очевидно, такой способ несколько громоздок. Тем более неясно, что делать при ещё больших и (или) нецелых степенях.

Сделаем так: пусть , тогда и соответственно . Также найдём дифференциал: .

(Вспомним, что .) Подставим:

Теперь очень легко раскрыть скобки:

и найти интеграл как сумму двух табличных интегралов:

где .

Итак, , где .

Можно вернуться к исходной переменной:

и даже вынести общий множитель:

но это не всегда легко или целесообразно.

ЗМ1. Найдите интегралы, заменив скобку на новую переменную:

Пример 2. Найдём . Пусть , тогда и . Также нам понадобится величина . Подставим в интеграл и сведём к общему знаменателю:

Интеграл распадается на сумму табличных:

, где .

Вынесем за скобку и вернёмся к старой переменной:

ЗМ2. Найдите интегралы при помощи подходящей замены знаменателя:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 3.Найдём интеграл . Заменим , тогда , и . Поэтому

Упростим и вернёмся к старой переменной:

Можно свести к общему знаменателю и найти, что .

Пример 4.Найдём . Заменим , тогда и . Также .

Подставим:

По отдельности находим

а) ;

б) ;

в) (табличный интеграл);

тогда

где . Итак, .

В следующих примерах путём замены избавляются от корня.

ЗМ3. Найдите интеграл при помощи замены , выразив , заменив и перейдя к интегралу от переменной t:

Пример 5. Заменяем:

Подставим в интеграл:

Здесь 1/4 представили как 0,25 и – как . Учтём, что :

Можно вынести корень за скобку, упростить и получить, что

Замечание. Интеграл можно найти и без замен, представив числитель так:

затем сократив и применив основное правило табличного интегрирования. В более сложных интегралах такой способ не поможет.

ЗМ4. При помощи замены найдите

Пример 6. Чтобы найти , заменяем:

Подставив

находим табличный интеграл и возвращаемся к переменной x:

Ответ: .

ЗМ5. При помощи замены найдите

Пример 7. Возьмём . Заменив

подставим в интеграл: .

Разложим дробь на целую часть и правильную дробь:

тогда .

Учтём, что . Поскольку , запишем

Ответ: .

Пример 8.Поменяем в примере 7 знак в подкоренном выражении и найдём . Вначале отличия тоже только в знаке:

, , ,

поэтому .

При разложении дроби получим

и отличие от примера 7 окажется в поиске табличного интеграла:

Ответ: .

ЗМ6. Найдите интегралы

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 9. Заменим , тогда и . Подставим:

Разбиваем на 2 интеграла, находим по таблице, возвращаемся к переменной x:

Ответ: .

Пример 10. Заменим , тогда , затем и . Подставим:

Тем самым

, где .

Ответ: .

Модуль в ответе необязателен, поскольку (там, где корень имеет смысл, т.е. при всех ).

Пример 11. Заменяем , тогда и , откуда .

Подставим:

Значит, , где .

Ответ: .

Можно заменять не корень, а весь знаменатель, в котором он находится.

Пример 12. Найдём . Пусть . Выразим x:

откуда

Тогда . Поэтому

Интеграл разбивается на 2 простейших, и в результате

, где .

Итак, Ответ: .

ЗМ7. Найдите интегралы при помощи замены :

1) ;

2) .

Пример 12. Найдём . Пусть , тогда и . В таком случае

ЗМ8.Найдите интегралы

Пример 13. Найдём . Показательные функции допускают несколько способов замены.

1-й способ. Заменим , тогда , поэтому . При этом . Подставим:

Известно, что , тогда

По таблице (интеграл 2)

Возвращаясь к старой переменной, запишем

Ответ: , что равносильно .

2-й способ. Заметим, что . Заменим , тогда и . Подставим:

Ответтот же, что при решении 1-м способом. Учли, что при любом x, поэтому модуль можно опустить.

Кроме того, в интеграле можно вместо замены подвести под знак дифференциала, как в § 2:

или же заменить , откуда и , после чего получить

и найти так, как в § 3. Все ответы будут одинаковы.

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид где – любые функции. Цель её применения – получить интеграл проще исходного и найти его каким-либо способом (например, как табличный).

В качестве берётся функция, производная которой выглядит проще, чем сама . Таким свойством обладают логарифмы и обратные тригонометрические функции. Если их нет под знаком интеграла, то обычно – полином.

Оставшаяся часть подынтегрального выражения принимается за и от неё берётся интеграл, чтобы восстановить функцию .

Реже применяются формулы , а также

, где .

Пример 1. Выбираем , тогда . Необходимо найти и :

, .

Подставим в формулу интегрирования по частям:

Интеграл от уже известен и равен . Значит,

Ответ: (вынесли общий множитель и упростили).

Пример 2. Выбираем , тогда ,

, .

Подставим в формулу интегрирования по частям:

Поскольку , получаем

Ответ: , или .

Пример 3. Пусть , тогда , далее

, .

По той же формуле интегрирования по частям

Но , и тогда, с заменой на С,

Ответ: .

Обратите внимание, что константа при интегрировании по частям пишется только на последнем шаге.

ИЧ1. Найдите интегралы

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

ИЧ2. Найдите интегралы, дважды выполнив интегрирование по частям:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 4. Найдём . Выбираем , тогда и , поэтому

Новый интеграл также находится по частям. Теперь , соответственно , и тогда (подразумевая в будущем ответе)

Подставим этот результат вместо в равенство, полученное на 1-м шаге:

Если вынести за скобку и упростить, получим

Ответ: .

Пример 5. Чтобы по частям найти , выбираем и , тогда . Значит,

что равносильно .

Теперь берём , тогда . Отдельно находим новый интеграл

Но , и поэтому

где . Возвращаясь к предыдущему шагу, получаем, что

или, после необязательных упрощений, окончательный

Ответ: .

ИЧ3. Найдите интегралы по частям, выбрав подходящие и :

1) ;

2) ;

3) .

Пример 6.Найдём , для чего запишем его как . Под знаком интеграла есть логарифм, именно его следует взять в качестве U: . Тогда .

Находим , также , тогда

Далее .

Ответ: .

Пример 7. Найдём . Берём и, очевидно, (постоянную C не пишем). Кроме того, , тогда

где интеграл можно найти так:

Удобно запомнить, что при любом . Итак,

Ответ: .

Более сложные интегралы вида при обычно находят так:

1) заменой сводят к интегралу ;

2) выбирают , ;

3) по частям приходят к интегралу ;

4) берут его по стандартной схеме, приведённой в любом учебнике.

123

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: