Примеры решения типовых задач

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

; ;

; ; .

Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения стационарных точек:

Решая систему, находим две стационарные точки , .

Вычисляем значения частных производных второго порядка в этих точках:

, , , , , .

Затем находим определители:

В силу достаточных условий заключаем, что в точке нет экстремума, так как , а в точке функция имеет максимум, так как и , причем .

Пример 2. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Из условия выразим и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому

Мы получили функцию одного переменного. Функция определена при всех . Приравнивая к нулю производную, получаем: Для найденных значений найдем соответствующие им значения : при ; при . при точка будет точкой минимума исходной функции , а точка – точкой максимума, т.к. при .

Соответственно, ,

Пример 3.Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением

Решение. Рассмотрим функцию Лагранжа Имеем Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)

находим . Нетрудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями .

Решение. Находим стационарные точки:

.

– стационарная точка, .

Исследуем данную функцию на границе области, которая представляет собой треугольник (рис.23).

На прямой : и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на , следовательно – точка min, в которой .

На концах отрезка : .

Аналогично, на прямой :

– точка min, в которой . В точке : .

На прямой , которая задается равенством , имеем, исключив из в соответствии с уравнением , в которой . На концах значения функции уже найдены.

Сравнивая все полученные значения функции , заключаем, что – наибольшее значение функции и достигается в точках ; – наименьшее, в стационарной точке .

Задания для самостоятельной работы

22. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

23. Исследовать на условный экстремум следующие функции:

а) , при ;	б) , при ;
в) , при ;	г) , при ;
д) , при ;	е) , при ;
ж) , при ;	з) , при ;
и) , при ;	к) , при .

24. Найти наибольшие и наименьшие значения функций, заданных в замкнутой области :

а) , ;	б) , ;
в) , ;	г) , ;
д) , ;	е) , ;
ж) , ;	з) , ;
и) , ;	к) , .

14. Подбор эмпирической формулы по методу наименьших
квадратов

Пусть существует некоторая зависимость между переменными величинами и , представленная таблично:

			...
			...

Требуется найти по данным наблюдений аналитическое выражение от или от . Т. е. эмпирическую формулу или . При нахождении этой формулы не требуется, чтобы значения совпадали с .

Это осуществляется в два этапа.

1. Выяснение общего вида формулы.

2. Определение параметров формулы.

Для определения общего вида формулы в декартовой системе координат отмечаются точки . И определяют, вдоль какой линии они располагаются. Зависимость может быть линейной (вдоль прямой), квадратичной (вдоль параболы), гиперболической, логарифмической, показательной.

Для определения параметров формулы удобно пользоваться методом наименьших квадратов.

Сущность этого метода заключается в том, что сумма квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических была минимальной:

.

1. Пусть зависимость между переменными предполагается линейной: .

Тогда . Найдём минимум этой функции. Для этого решим систему уравнений:

.

Упрощая систему получим:

(1).

Система (1) называется нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой. Решая систему (1) найдём параметры и .

2. Пусть зависимость между переменными предполагается

квадратической: .

Тогда .

Найдём минимум функции. Для этого решим систему уравнений:

или (2).

Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по параболе. Решая систему (2) найдём параметры , и .

Рассмотрим на примере. Дана зависимость переменных.

	-1
				3,5		4,5

Требуется подобрать зависимость от .

Зависимость между и будет линейной. Найдем значения параметров и из системы (1). Для удобства расчетов строим таблицу:

№
	-1	3,5 4,5
Σ

Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек (координат) из суммы столбцов при , , , составляются коэффициенты системы (1) для определения параметров и прямой . Система имеет вид:

Решая систему, получим, и , а уравнение прямой имеет вид: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: