Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти частные производные функции .

Решение. Считая постоянной и дифференцируя как функцию , получаем частную производную по :

Аналогично, считая постоянной и дифференцируя как функцию , получаем частную производную по :

Пример 2.Найти частные производные функции .

Решение. По формулам дифференцирования находим частные производные:

;

.

Пример 3. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Полный дифференциал вычисляется по формуле (10.1), поэтому находим частные производные:

; , тогда

Пример 3. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Так как , а ,

то по формуле (10.1) получим

Пример 4. Вычислить приближенно

Решение: Рассмотрим функцию При имеем . Найдем полный дифференциал функции в любой точке: . Вычислим его значение в точке при данных приращениях . Тогда .

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Дифференцируя по , найдем ; дифференцируя еще раз по , найдем , а дифференцируя по , найдем:

.

Дифференцируя по , а затем еще раз по , найдем ;

.

Получили три разные частные производные второго порядка:

; ; .

Пример 6. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка, а затем искомые частные производные второго порядка:

; ; ; ; .

Пример 7. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Найдем частные производные первого и второго порядка, содержащиеся в данном уравнении:

; ; .

Подставляем их в данное уравнение

,

преобразуем и получим , т. е. верное равенство.

Пример 8. Если Найти .

Решение. Последовательно дифференцируя, находим , затем и : ; ; .

Получили .

Задания для самостоятельной работы

15. Найти полные дифференциалы функций:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) ;

16. Вычислить указанные выражения приближенно, заменяя приращение функции дифференциалом:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) ;

17. Найти частные производные первых и вторых порядков функций:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

18. Проверить указанные равенства для заданной функции :

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

11. Дифференцирование сложных и неявных функций

11.1. Дифференцирование сложных функций

 

Если , а и то есть есть сложная функция и , то частные производные и находятся по формулам:

; (11.1)

Если для функции два аргумента и являются функциями одного аргумента , то есть , то производная вычисляется по формуле:

(11.2)

 

11.2. Дифференцирование неявных функций

Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением

,

не разрешенным относительно .

Производные неявной функции находятся по формулам:

(11. 3)

 

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти , если , где , .

Решение. Здесь есть сложная функция одной независимой переменной . Найдем производные:

, .

Пользуясь формулой (11.2), получим

Пример 2. Если где , то найти .

Решение. Здесь сложная функция двух переменных и . Найдем частные производные:

По общим формулам (11.1) запишем:

Пример 3. Найти и , если , где ; .

Решение. Найдем частные производные данных функций:

; ; ; ; ; .

По общим формулам (3.1) запишем:

;

.

Пример 4. Дана функция Найти 1) ; 2) , если

Решение. 1) Найдем частную производную по , считая – константой, получим

2) Для функции , найдем полную производную по формуле . Так как и , то получим

Пример 5. Найти частные производные от функции заданной неявно

Решение. В данном случае Находим сначала частные производные функции :

; ; .

По формулам (11.3.) получим после преобразования:

;

Пример 6. Проверить, что функция , где удовлетворяет соотношению:

.

Решение. Находим частные производные :

Теперь составим выражение:

что и требовалось доказать.

Пример 7. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Данную функцию перепишем так:

Найдем частные производные и подставив их в формулу (11.3), получим и .

Составим сумму частных производных, упростим:

,

что и требовалось получить.

 

Задания для самостоятельной работы

 

19. Найти в заданиях а) – ж), а в заданиях з) – к) найти и .

 

а) ;	б) ;
в) ;	г) , ;
д) , ;	е) , ;
ж) , ;	з) , ;
и) , ;	к) , .

 

 

123456

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.