|
|
Примеры решения типовых задачРассмотрим два наиболее простых способа нахождения неопределённых коэффициентов на одном конкретном примере. Пример 1. Вычислить интеграл Решение. I метод – метод неопределённых коэффициентов. Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях При При При Тогда Далее находим неопределённый интеграл:
II метод – метод частных значений. Придадим аргументу
Пример 2. Вычислить интеграл Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами: Пример 3.Вычислить интеграл Решение. Выделим целую часть дроби:
Разложим знаменатель дроби на множители с действительными коэффициентами:
При При При
Задания для самостоятельной работы
4. Вычислить интеграл от дроби, содержащий в знаменателе квадратный трехчлен.
5. Вычислить интегралы от рациональных функций.
4. Интегрирование некоторых тригонометрических и
В этом параграфе для интегралов от некоторых классов тригонометрических и иррациональных выражений будут даны рационализирующие подстановки, то есть замены переменной, приводящие исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Здесь через 4.1. Интегрирование тригонометрических функций
I. Интегралы вида Подставляя в подынтегральное выражение вместо
В случае, когда имеет место тождество
Если Если II. Для отыскания интегралов вида
При нахождении интегралов вида 1) хотя бы одно из чисел
2) оба числа
4.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определённых подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной. I. Интеграл вида II. Интегралы вида
К рассмотренным интегралам могут быть преобразованы интегралы
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
.
и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами: 
. Приведя к общему знаменателю правую часть, получим равенство числителей: 
.
в правой и левой частях этого равенства.
.
.
.
и 
.
,
. Тогда получим систему независимых уравнений, из которой имеем: 
.
.
. Приведя дроби в обеих частях к общему знаменателю, получим: 
. Найдём неопределённые коэффициенты методом частных значений, придадим аргументу 
, откуда 
и 
. Таким образом: 
.
.
.
. Умножая это равенство на общий знаменатель, получим: 
. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 
.
.
. Тогда 
и
. Итак, вычислим неопределённый интеграл: 
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
будем обозначать рациональные функции.
приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной 
с помощью универсальной тригонометрической подстановки
.В этом случае 
.
их выражения через 
, 
получим интеграл от рациональной дроби:
.
для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощённую подстановку 
.При этом 
.
– нечетная функция относительно 
, т.е. 
, то интеграл рационализируется подстановкой 
.
, т.е. 
, то интеграл рационализируется подстановкой 
.
используют следующие формулы:
возможны следующие случаи:
или 
– нечетное, например 
, тогда 
, 
, где 
– постоянные, 
приводятся к интегралу от рациональной функции новой переменной 
с помощью подстановки 
, где 
наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей 
, т.е. 
.
тригонометрическими подстановками соответственно 
сводятся к уже рассмотренным интегралам вида 
, если из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат суммы и сделать линейную замену переменной. Существуют и другие методы интегрирования указанного интеграла, мы их здесь не рассматриваем.