Сделай Сам Свою Работу на 5

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой «в отрезках».





Пусть даны две точки М(Х1 ,У1 ) и N(Х2, y2). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Так как эта прямая проходит через точку М, то согласно формуле (1)ее уравнение имеет вид:

УY1 = K(X – x1),

Где K – неизвестный угловой коэффициент.

Значение этого коэффициента определим из того условия, что искомая прямая проходит через точку N, а значит, ее координаты удовлетворяют уравнению (1)

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Отсюда можно найти угловой коэффициент этой прямой:

.

Подставим найденное значение K в уравнение (1), и получим

,

Или после преобразования

.

Пусть дана прямая . Если , то, разделив на . Имеем: , или . Обозначив , , получим уравнение прямой в отрезках; и – отрезки, которые она отсекает на осях координат.

 

 

Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми.

Пусть прямые l1 и l2 относительно прямоугольной декартовой системы координат заданы своими каноническими уравнениями:

Возможны два случая :

1. Прямые и лежат в одной плоскости.

Прямые, находясь в одной плоскости, так же могут :

1.1. Совпадать

1.2. Быть параллельными

не параллельно

1.3. Пересекаться не параллельно



, .

1.3.1 Условие перпендикулярности прямых:

2. Прямые и скрещиваются.

Если не выполняется условие 1.

Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые l1 и l2 относительно прямоугольной декартовой системы координат заданы своими каноническими уравнениями:

Полярная система координат. Связь с декартовой системой координат.

Полярная система координат определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и j точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M ( ρ = |OM|) и угол j между полярной осью и вектором OM (рис. 2). Угол j называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол jне определен. У остальных точек ρ > 0 и угол j определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤ j < 2 π или − π < jπ.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и j формулами



x = ρcosj y = ρsinj .

Полярные координаты ρ и j точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами:

; ;

Замечание. Если не указано положение полюса и полярной оси относительно декартовой системы координат, то считаем, что полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс.

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости «в отрезках».

Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: х, у и z, т.е. уравнение вида:

Ax + By + Cz + D = 0.

Коэффициенты являются координатами нормального вектора плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости.

Частные случаи.

1) Если в уравнении , то плоскость проходит через начало координат.

2) При ( , ) плоскость параллельна оси (оси , оси соответственно).

3) При ( , ) плоскость параллельна плоскости (плоскости , плоскости ).

Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (–D).

Обозначив , получим уравнение плоскости “в отрезках”

,

где a, b, c – это отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей.

 

17. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2) и М33,y3,z3), не лежащие на одной прямой.



Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы , , . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т. е.

Данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Условие параллельности двух плоскостей:

Пусть P1:A1x+B1y+C1z+D1=0, 1=(A1,B1,C1);

P2:A2x+B2y+C2z+D2=0, 2=(A2,B2,C2).

Плоскости P1 и P2 параллельны тогда и только тогда, когда
1∥ 2⇔ A1A2=B1B2=C1C2.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.