Орт вектора. Направляющие косинусы. Скалярное произведение векторов и их свойства.

Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

Для обозначения единичного вектора используют нижний индекс е. Так, если задан вектор а, то его единичным вектором будет вектор а_е. Этот единичный вектор направлен туда же, куда направлен и сам вектор а, и его модуль равен единице, то есть а_е = 1.

Чтобы найти орт вектора , нужно вектор поделить на его длину:

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами.

Углы, образуемые вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул:

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора .

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула

т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

Если , т. е. если - единичный вектор, обозначаемый обыкновенно , то его проекции на координатные оси вычисляются по формулам

т. е. проекции единичного вектора на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается символом . Если обозначить угол между векторами и через , для скалярного произведения будем иметь

Скалярное произведение двух векторов и - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):

откуда .

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае .

Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:

(переместительное свойство умножения);

(распределительное, или дистрибутивное свойство произведения).

Если векторы и заданы проекциями на координатные оси

то их скалярное произведение вычисляется по формуле а косинус угла между этими векторами определяется по формуле

Если углы, образуемые вектором с координатными осями, обозначить через , а углы, образуемые вектором с координатными осями, - через , то косинус угла между векторами и определяется по формуле

Если векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и тогда

a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0,

или

Вычисление угла между векторами. Признак перпендикулярности векторов. Вычисление скалярного произведения в декартовой системе.

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Пример. Найти скалярное произведение векторов a и b, если:

Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

.

Подставим:
Замечание: угол между векторами острый – скалярное произведение положительно.

Условие перпендикулярности векторов

· Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

· Даны два вектора (xa;ya) и (xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.

· Скалярным произведением двух векторовна плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

· То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид

,

· Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: