Сделай Сам Свою Работу на 5

Векторное произведение векторов и его свойства. Формула для вычисления векторного произведения в декартовой системе координат.





Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен где - угол между векторами и .

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

или

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

3) (распределительное свойство).

Скалярным произведением двух векторовна плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .



То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид

,

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .

Смешанное произведение. Геометрический смысл. Вычисление в декартовых координатах.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и .

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения

Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , и , взятому со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы , и компланарны, то равно нулю.

Справедливо равенство .

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения.



Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

, , ,

то смешанное произведение равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

 

 

Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку ( , ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки ( , ), ( , ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки ( , ) и ( , ).

Если известны угловые коэффициенты и двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:



.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.