Векторное произведение векторов и его свойства. Формула для вычисления векторного произведения в декартовой системе координат.
Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:
1) Его модуль равен где - угол между векторами и .
2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .
3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).
Векторное произведение векторов и обозначается символом :
или
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.
3) (распределительное свойство).
Скалярным произведением двух векторовна плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .
То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .
Смешанное произведение. Геометрический смысл. Вычисление в декартовых координатах.
Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и .
Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Геометрический смысл смешанного произведения
Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , и , взятому со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы , и компланарны, то равно нулю.
Справедливо равенство .
Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами
, , ,
то смешанное произведение равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой.
Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:
Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку ( , ) и имеет угловой коэффициент k.
Если прямая проходит через точки ( , ), ( , ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение
является уравнением прямой, проходящей через две точки ( , ) и ( , ).
Если известны угловые коэффициенты и двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле
.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
или .
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|