Задачи контрольной работы

В задачах 3.1.1- 3.1.20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

· длину стороны АВ;

· уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

· угол B в радианах;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СД;

· уравнение окружности, для которой высота СД есть диаметр;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне

АВ, и точку ее пересечения с высотой СД;

· систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение типового примера

Пример 3.2. Определить вид кривой, построить, найти координаты фокусов и эксцентриситет:

Пусть дана кривая .

Решение:

Приведем данное уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем отдельно члены, содержащие переменные и :

.

В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате переменной, а затем выделим полный квадрат, используя формулы сокращенного умножения :

.

Первые три слагаемые в скобках образуют полный квадрат разности , следовательно

.

Аналогичные действия осуществим для переменной :

.

Первые три слагаемые в скобках образуют полный квадрат суммы , следовательно

.

Тогда исходное уравнение примет вид:

,

,

.

Введем обозначения: . Произведенную замену будем рассматривать, как преобразование декартовых координат в координаты при параллельном сдвиге координатных осей. Причем новое начало координат находится в точке . В этой системе координат наше уравнение примет вид:

.

Это каноническое уравнение эллипса. Его полуоси . Кроме того, , следовательно эксцентриситет . остается найти координаты вершин и фокусов эллипса. В новой системе координаты вершин таковы: ; координаты фокусов . Так как старые координаты выражаются через новые по формулам , то, возвращаясь к первоначальной системе координат получим: , .

3.2.1	3.2.2
3.2.3	3.2.4
3.2.5	3.2.6
3.2.7	3.2.8
3.2.9	3.2.10
3.2.11	3.2.12
3.2.13	3.2.14
3.2.15	3.2.16
3.2.17	3.2.18
3.2.19	3.2.20

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ.

Программные вопросы

1) Что называется функцией, числовой последовательностью?

2) Что называется пределом числовой последовательности, функции?

3) Сколько пределов может иметь числовая последовательность?

4) Какие величины называются бесконечно большими, бесконечно малыми?

5) Какая связь существует между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами?

6) Какие пределы называют первым и вторым специальными пределами?

7) Какими свойствами обладают пределы?

Решение типового примера

Пример 4.1.Найти указанные пределы.

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) .

Воспользуемся непосредственной подстановкой предельного значения переменной: .

2) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на множители, используя формулу: , где - корни соответствующего квадратного уравнения .

, ,

, или , .

Тогда или .

, ,

, или , .

Тогда .

Подставим найденные разложения в исходный предел:

.

3) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби старшую степень переменной:

,

Так как , то . Таким образом, после непосредственной подстановки окончательно получаем:

Задачи контрольной работы

В заданиях 4.1.1 – 4.1.20 найти указанные пределы.

4.1.1	;	a) , b) , c) .
4.1.2	;	a) , b) , c) .
4.1.3	;	a) , b) , c) .
4.1.4	;	a) , b) , c) .
4.1.5	;	a) , b) , c) .
4.1.6	;	a) , b) , c) .
4.1.7	;	a) , b) , c) .
4.1.8	;	a) , b) , c) .
4.1.9	;	a) , b) , c) .
4.1.10	;	a) , b) , c) .
4.1.11	;	a) , b) , c) .
4.1.12	;	a) , b) , c) .
4.1.13	;	a) , b) , c) .
4.1.14	;	a) , b) , c) .
4.1.15	;	a) , b) , c) .
4.1.16	;	a) , b) , c) .
4.1.17	;	a) , b) , c) .
4.1.18	;	a) , b) , c) .
4.1.19	;	a) , b) , c) .
4.1.20	;	a) , b) , c) .

Пример 4.2.Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, домножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на величины, сопряженные числителю и знаменателю (т.е. на и ):

.

б) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, введем новую переменную , где (т.е есть наименьшее общее кратное показателей радикалов, стоящих в числителе и в знаменателе). В нашем случае . Кроме того, следовательно , или . Таким образом, мы получаем

.

Однако, непосредственная подстановка опять приводит к неопределенности , которую мы устраним, разложив числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулы сокращенного умножения:

.

в) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на величину, ему сопряженную (т.е. на ):

.

Однако, непосредственная подстановка опять приводит к неопределенности , которую мы устраним, разделив числитель и знаменатель дроби на :

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: