Определение и виды случайных величин

Очень часто на практике приходится иметь дело с величинами, значения которых нельзя предсказать заранее. К таким величинам относятся, например, число клиентов, обратившихся в банк в течение дня, количество попаданий в мишень при нескольких выстрелах, расстояние от точки попадания до центра мишени, количество осадков за определенный промежуток времени и т. д. На каждую из этих величин действует большое количество мелких факторов, которые трудно, иногда и невозможно, а иногда и не нужно учитывать по отдельности. Например, на полет снаряда, кроме основных – калибра орудия, величины заряда и наводки — влияют скорость и направление ветра, плотность воздуха, зависящая от температуры, осадки и т. п. Поскольку сами эти факторы не остаются неизменными, то и их влияние на определяемую в опыте величину будет также меняться. В результате от опыта к опыту будет получаться несколько иное значение измеряемой величины.

Случайной называется переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода опыта.

Некоторые из случайных величин, например, число клиентов в банке, количество попаданий в мишень могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно перечислить.

Случайная величина, которая может принимать значения некоторой конечной или бесконечной числовой последовательности, называется дискретной (краткое обозначение ДСВ).

Случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка или промежутков, называется непрерывной (краткое обозначение НСВ).

Непрерывной случайной величиной является, например, количество осадков или расстояние от точки попадания до центра мишени.

Случайные величины принято обозначать большими латинскими буквами ... Чтобы описать случайную величину, нужно не только знать, какие значения она принимает, но и как часто, т. е. с какой вероятностью встречаются те или иные значения. В опыте случайная величина обязательно примет одно из своих значений, поэтому полная (суммарная) вероятность равна 1. То, как эта полная вероятность поделена между различными значениями случайной величины, называется распределением случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Способы задания закона распределения для ДСВ и НСВ несколько различны, поэтому рассмотрим их отдельно.

4.2. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины

Закон распределения для дискретной случайной величины может быть представлен рядом распределения, полигоном распределения, функцией распределения в табличном и графическом виде.

Таблица, в которой представлены значения случайной величины и соответствующие им вероятности (т. е. вероятности того, что примет значение, равное ), называется рядом распределения. Если в таблице учтены все возможные значения , то должно выполняться условие

.

Информация о распределении, представленная на графике точками с координатами ( ) и соединяющей их ломаной, называется многоугольником (полигоном) распределения.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , называется функцией распределения , т. е. . Переменная может принимать любые значения от до . Для ДСВ

.

Рассмотрим на примере различные способы задания закона распределения ДСВ.

Пример. Батарея состоит из 3 орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого орудия = 0,5; для второго = 0,6; для третьего — = 0,8. Все орудия делают по одному выстрелу. Задать случайную величину Х – число попаданий в цель.

Очевидно, что Х может принять одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3 .

= 0, если ни одно орудие не попадет;

= 1, если попадет одно орудие (либо первое, либо второе, либо третье); = 2, если попадут два орудия: либо первое и второе, либо первое и третье, либо второе и третье;

= 3, если попадут все три орудия.

Сделаем проверку: .

Выпишем ряд распределения

	0,04	0,26	0,46	0,24

Чтобы получить многоугольник (полигон) распределения на координатной плоскости отмечают точки, координатами которых являются значения случайной величины и соответствующие им вероятности (они представлены в ряде распределения). Для наглядности точки соединяют ломаной линией. Полигон распределения представлен на рисунке слева.

Функция распределения представлена таблицей и графиком.

		0,04	0,3	0,76

Для того, чтобы составить функцию распределения, всю числовую ось разбивают на промежутки значениями случайной величины. Из каждого промежутка берут произвольное значение аргумента и находят значение функции распределения, пользуясь её определением.

Данный пример иллюстрирует следующие свойства функции распределения случайной величины (которые можно легко доказать, учитывая, что вероятность любого события заключена в пределах от 0 до 1).

1) – неубывающая функция (т. е. либо возрастает, либо постоянна);

2) = 0, для всех , где – наименьшее из всех значений ;

3) = 1, для всех , где – наибольшее из всех значений .

Приведенные характеристики дают полное и ясное представление о случайной величине. Однако, в случае, когда ДСВ имеет много значений ( десятки, сотни и т. д. ) они будут очень громоздкими и требуют много места. Кроме того, во многих практических задачах вовсе нет необходимости так подробно описывать случайную величину.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: