Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является обобщением теорем сложения и умножения вероятностей. Если событие А может произойти только с одним из событий , образующих полную группу, то его вероятность можно вычислить следующим образом:

.

Пример. В магазин поступают электролампы с трех заводов. На первом заводе стандартные лампы составляют 90 % продукции, на втором - 95 %, на третьем - 85 %. Половина всех ламп в магазине поставлена первым заводом, 30% - вторым, 20 % - третьим. Какова вероятность купить в этом магазине стандартную лампу?

Обозначим событие А - покупка стандартной лампы; оно может произойти с одним из следующих событий:

- лампа изготовлена первым заводом;

- лампа изготовлена вторым заводом;

- лампа изготовлена третьим заводом.

События , с которыми может наступить событие А, носят название гипотез. Оценить вероятность той или иной гипотезы, если событие А произошло, можно следующим образом: из полной вероятности берут ее часть, связанную гипотезой и делят на полную вероятность:

.

Полученная формула для оценки вероятности того, что событие А произошло по гипотезе , называется формулой гипотез или формулой Байеса.

Пример. Компания по страхованию делит водителей на группы: А (мало рискуют), В (средне рискуют), С (сильно рискуют). 30 % водителей относятся к группе А, 50 % – к группе В, остальные – к группе С. Вероятность попадания в аварию для водителя группы А – 0,01; группы В – 0,03; группы С – 0,1. Водитель попал в аварию. Найти вероятность, что он относится к группе С.

Пусть событие - попадание произвольно взятого водителя в аварию.

Возможны следующие гипотезы:

— это водитель из группы А, Р( ) = 30/100 = 0,3;

— это водитель из группы В, Р( ) = 50/100 = 0,5;

— это водитель из группы С, Р( ) = 20/100 = 0,2;

Тогда полная вероятность для произвольного водителя попасть в аварию:

.

Вероятность, что это был водитель из группы С :

.

Повторение независимых испытаний

Формула Бернулли

Проведение подряд опытов (испытаний), в каждом из которых событие А может осуществиться с вероятностью p, не зависящей от результатов предыдущих испытаний, называется повторением (схемой) независимых испытаний.

Вычислим вероятность события , состоящего в том, что в серии из опытов событие наступит раз. Событие заключается в одновременном (т.е. во время одной серии испытаний) осуществлении событий и событий (противоположных ). Это произведение может осуществиться различными способами.

Рассмотрим простой пример. Монету подбрасываем 4 раза, пусть событие – выпадение цифры ( = 0,5). Событие (цифра выпала 2 раза из 4-х) может произойти следующими способами:

Ц Ц Г Г ; Ц Г Ц Г ; Ц Г Г Ц ; Г Г Ц Ц ; Г Ц Ц Г ; Г Ц Г Ц .

Число способов осуществить нужное нам событие совпадает с числом способов выбрать два места из четырех и равно числу сочетаний по два из четырех .

В общем случае, когда проводится опытов, число способов, когда событие наступает раз равно . Вероятность осуществления каждого способа равна , события, соответствующие разным способам, несовместны, поэтому вероятность того, что в серии из опытов событие произойдет раз, равна:

.

Полученная формула носит название формулы Бернулли.

Пример. Перевозится партия из 10 деталей. Вероятность повреждения в пути отдельной детали = 0,2. Какова вероятность, что во время перевозки будет повреждено не более двух деталей?

В данном случае испытанием будет доставка отдельной детали, т.к. деталей 10, то = 10. Событие – повреждение отдельной детали. Интересующее нас событие – повреждение не более двух деталей – состоит либо в благополучной доставке всех деталей (0 деталей повреждено, = 0), либо в повреждении 1 детали ( = 1), либо в повреждении 2 деталей ( = 2). Значит,

;

.

В некоторых задачах бывает необходимо использовать формулу Бернулли несколько по-иному. Известна вероятность , с которой событие А может произойти в отдельном опыте, задается вероятность , с которой в серии из опытов событие А должно произойти не менее, чем раз. Нужно установить, каково должно быть число опытов для достижения нужной вероятности. В этом случае нужно, задаваясь различными значениями (начиная с ), вычислять вероятность искомого события по формуле до тех пор, пока величина не достигнет .

Пример. Вероятность p того, что отдельный саженец приживется при посадке, равна 0,8. Сколько нужно взять саженцев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,85 прижились, по крайней мере, 5 саженцев?

Пусть число саженцев n = 5. Нас устраивает вариант, когда приживутся все 5. Вероятность этого . Как видно, она недостаточна. Возьмем n = 6. Походящим будет случай, когда приживутся или 5 из 6 саженцев, или все 6. Вероятность этого:

.

Эта вероятность также меньше указанной в задаче. Возьмем n = 7. Благоприятным исходом будет, если приживутся или 5 из 7 саженцев, или 6 из 7, или все 7. Вероятность этого

Следовательно, для достижения нужной вероятности нужно посадить семь саженцев.

Вероятности при заданных значениях n и p изменяются в зависимости от m. Число , при котором вероятность имеет наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом наступлений события. Его можно определить из системы неравенств:

Преобразование данной системы приводит к двойному неравенству:

.

Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 150 изделий?

Наивероятнейшее число изделий должно удовлетворять двойному неравенству: или . Целым числом, удовлетворяющим данному неравенству, будет = 117.

Пример 2. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 55?

В данной задаче p = 1/6 и должно выполняться двойное неравенство

Это неравенство можно заменить системой:

3.2. Приближение формулы Бернулли при больших и

Вычисление вероятностей по формуле Бернулли, несложное при небольших и , весьма затруднено при больших и . В подобных случаях формулу Бернулли преобразуют, используя формулу Муавра-Стирлинга, пригодную для больших :

.

Пример. Установлено, что иммунитет против туберкулеза приобретается после прививки в 94 % случаев. Какова вероятность, что среди 100000 привитых граждан 5800 человек не защищены от болезни?

В этой задаче = 100000, = 5800, вероятность события А — отсутствие иммунитета = 1– 0,94 = 0,06. По формуле Бернулли нужно вычислить:

.

Поскольку вычисление факториалов в данной формуле весьма затруднительно, попробуем использовать приближение формулы Бернулли:

.

Однако и этой формулой бывает не всегда удобно пользоваться. Неудобство возникает, если нужно вычислить сумму большого числа вероятностей типа . Например, если нас будет интересовать вероятность события В, состоящего в том, что от болезни не защищены от 5800 до 6200 человек, то для определения нужной вероятности следует подсчитать сумму более 400 слагаемых:

,

что, конечно, не вызывает восторга.

В подобных случаях пользуются еще одним приближением, полученным Муавром (локальная теорема Муавра):

.

Значения вероятности по этой формуле можно вычислить и непосредственно на калькуляторе, а можно и с помощью таблиц функции

согласно соотношению , где .

Для вычисления суммы вероятностей ее заменяют интегралом (интегральная теорема Муавра):

.

Для стоящей под интегралом функции первообразная не существует в аналитическом виде, поэтому пользуются табулированной (т.е. заданной в виде таблицы) функцией

.

Тогда , где

, .

Таким образом: .

Пример. Вычислим с помощью функции Ф( ) вероятность того, что после проведения вакцинации от 5800 до 6200 граждан останутся без иммунитета.

При вычислении использовано свойство: Ф(– ) = –Ф( ).

3.3. Приближение формулы Бернулли при больших и малых и

Рассмотрим теперь случай когда – велико, а и – малы ( <<1, << ). При этих условиях формула Бернулли для удобства вычислений преобразуется следующим образом:

.

сокращая общие множители в ! и ( - )!.и также, положив , получим

Т.к. << , то множители в скобках можно принять равными 1, а используя предел заменить . Окончательно получим

.

Эта формула для вычисления вероятности того, что при повторении опытов событие А произойдёт раз носит название формулы Пуассона.

Пример. В страховой компании застраховано 10000 клиентов, каждый из которых вносит в начале года 12 долларов. В случае смерти клиента (вероятность которой в течение года равна 0,006) компания выплачивает родственникам 1000 долларов. Какова вероятность, что фирма получит доход в размере 70000 долларов?

Считая, что доход – это разница между суммарным взносом в 120000 долларов и выплатами по случаю смерти, посчитываем, что нужный доход получится, если в течение года умрет 50 клиентов. Значит, = 10000, = 50 и вероятность этого .

Случайные величины

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: