ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика используется в различных областях знаний, в том числе в экономике сельского хозяйства, опытном деле, земледелии, животноводстве, лесном хозяйстве и т. д., т. е. там, где для изучения процессов и явлений недостаточно только качественной характеристики. Чтобы глубоко познать сущность процессов, необходимы количественные характеристики в виде измерений, наблюдений с их последующим анализом, обобщением и выводами. Изучением способов сбора результатов наблюдений и их обработки занимается математическая статистика.

ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Генеральная и выборочная совокупность. Выборочный метод.

Определение. Математическая статистика – это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных массовых явлений.

Результаты измерений (наблюдений) называют статистическими данными. В зависимости от поставленной цели все задачи математической статистики могут быть сформулированы в различных формах, среди которых типичными являются: 1) приближенное определение неизвестного закона распределения случайной величины; 2) приближенное определение неизвестных параметров распределения, т. е. их статистические оценки; 3) проверка правдоподобия гипотез о распределении.

Одним из основных способов сбора статистических данных является выборочный метод.

Определение. Вся исследуемая совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.

Если предположить, что над всеми объектами проведено наблюдение (измерение), то результаты можно рассматривать как значения случайной величины с функцией распределения вероятностей F(х). Как и в теории вероятностей, для всех значений х в генеральной совокупности, меньших чем х₀, равна F(х₀).

Определение. Множество из п объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой (п – объем выборки).

Необходимость исследования статистического материала с помощью выборки объясняется тем, что: 1) исследование всей генеральной совокупности трудоемко и приводит к большим затратам средств и времени или практически неосуществимо; 2) в ряде случаев исследование всех объектов генеральной совокупности привело бы к их порче, например исследование всех электролампочек на продолжительность горения, исследование на всхожесть всего семенного материала.

Определение. Метод, основанный на том, что по данным обследования выборки, выделенной из данной генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Выборка называется репрезентативной, если каждый объект генеральной совокупности имеет одинаковую возможность попасть в выборку. Если выборка репрезентативна, то в соответствии с законом больших чисел, результаты ее изучения и выводы будут близки к результатам, какие могли быть получены, если бы исследовалась вся генеральная совокупность.

Для того чтобы выборку составить качественно, необходимо владеть специальными знаниями и интуицией в соответствующей отрасли. Небрежно составленная выборка может стать причиной ошибочных выводов и прогнозов.

СПОСОБЫ ОТБОРА СТАТИСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Различают два основных способа составления выборки: повторный и бесповторный. При повторном способе каждый отобранный объект возвращается в генеральную совокупность, после чего выбирают следующий, очередной объект.

При бесповоротном способе объекты в генеральную совокупность не возвращаются.

Повторный способ отбора можно рассматривать как последовательность независимых испытаний, бесповторный – как последовательность зависимых испытаний. Оба способа составления выборки приводят к практически одинаковым результатам, если объем ' выборки мал по сравнению с объемом генеральной совокупности.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

Возьмем выборочную совокупность объема п. Если генеральная совокупность имеет небольшой объем, то в некоторых случаях можно в выборку включить все ее члены.

Количественное значение признака, наблюдаемое при отборе, – это случайная величина, ее возможные значения обозначают символами х₁ х₂, х₃, ..., х_k, а числа n_i объектов с одинаковым количественным признаком называют частотами и обозначают п₁, п₂, п₃,…,n_k.

Изучение выборки начинают с составления статистического распределения – таблицы с двумя строками. В одной строке указывают значения признака, в другой – соответствующие им частоты.

Определение. Статистическим распределением случайной величины называют таблицу значений признака, расположенных в возрастающем порядке, и соответствующих им частот или относительных частот.

Различают дискретные (возможные значения признака изолированы друг от друга), и интервальные (с непрерывным признаком) распределения. Составление статистического распределения начинают с определения наименьшего и наибольшего значений признака. Остальные значения записывают между ними в порядке возрастания. Далее подсчитывают частоты каждого значения признака.

Для непрерывно варьирующего количественного признака интервал его изменения разбивают на частичные интервалы одинаковой длины (классы) «от и до». Величина частичного интервала (класса) находятся по формуле

(1)

где п – объем выборки; – разность между наибольшим и наименьшим значениями признака. Обычно при небольших выборках число классов принимают равным 5–9. Точное их число устанавливается практическими соображениями: с одной стороны, важно, чтобы таблица не была слишком громоздкой и с другой стороны, в ней не должны исчезнуть особенности изучаемого признака. Затем подсчитывают число количественных признаков в каждом таком интервале. Обычно признак, находящийся на границе двух интервалов, относят к правой границе интервала.

Пример дискретного распределения. В результате обследования 50 кроликов, по количеству родившихся крольчат в одном помете, составлено распределение, приведенное в табл. 1.

Таблица 1

Пример распределения с непрерывно варьирующим количественным признаком.При измерении длины 50 колосьев ячменя сорта «Московский 121» получены данные, помещенные в табл. 2.

Таблица 2

Это пример интервального распределения.

Группировку по классам применяют и в случае дискретного распределения. Так, если число зерен в колосе от 5 до 30, то этот интервал разбивают на классы, например, 3...6, 6...9, 9...12 и т. д.

Геометрическое изображение статистического распределения.Наглядное представление о распределении дает график. Будем откладывать на оси абсцисс числовое значение признака х_i а на оси ординат – их частоты n_i или относительные частоты. Полученные точки соединим ломаной линией, которая вместе с осью Ох образуют полигон распределения частот или относительных частот. Распределение (см. табл. 1) изображено на рис. 1.

Если количественный признак изменяется непрерывно, то на каждом интервале строят прямоугольники с высотой, равной числу значений признака n_i или относительной частоте. Графическое изображение интервального распределения называется гистограммой (рис. 2). Обведем гистограмму плавной линией так, чтобы были приблизительно равны площади, ограниченные: а) ступенчатой ломаной и б) кривой. В результате получим график функции f*(х), называемый эмпирической функцией распределения частот или относительных частот.

В теории вероятностей ей отвечает дифференциальная функция распределения f(x). Если увеличивать объем выборки, то в соответствии с законом больших чисел относительная частота будет весьма мало отличаться от вероятности появления случайной величины X и график f*(х)будет по форме приближаться к графику f(х).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: