Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть функция n раз непрерывно дифференцируема на (т. е. и эта функция непрерывна ) и имеет в каждой точке этого интервала, за исключением, быть может, точки производную - го порядка. Тогда для любого между и х найдется такая точка , что справедлива формула Тейлора

... , (4.20)

где – остаточный член в форме Лагранжа. Так как точка , то , где .

Формула (4.20) является количественной характеристикой погрешности.

Формула Маклорена[11]

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

...

где

, .

Пример 4.12.Разложить функцию по степеням .

Решение. , , , . Отсюда

.

Следовательно, по формуле Тейлора третьего порядка

.

Остаточный член . Таким образом,

.

Пример 4.13.Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Имеем ,

… ,

где 2 < x < x.

Поэтому

где , .

Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)

Запишем формулу Тейлора (4.19) при с остаточным членом в форме Пеано:

. (4.21)

Формулу (4.21) называют формулой Маклорена разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано.

1. Пусть . Вычислим производные функции в точке : .

Используя формулу (4.21), получим

.

В частности, при и имеем:

.

2. Пусть . Вычислим значения производных функции при :

………………………………………………………………..

Используя формулу (4.21) при , находим:

.

В частности, при и имеем:

.

3. Разложение для получается аналогично:

.

В частности, при :

.

4. Пусть . Вычислим значения производных функции при :

Тогда . Используя формулу (4.21), получим:

.

В частности, при

.

5. Аналогично получаем

.

Если , то

.

Заменив на , получим:

.

Пример 4.14.Разложить функцию в ряд Маклорена с точностью .

Решение. Воспользуемся разложением . Заменим на , получим .

,

Пример 4.15.Разложить функцию в окрестности точки , взяв .

Решение. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные , , , отсюда , , , . Получаем

.

Пример 4.16.Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы: а) ; б) .

Решение. а) Воспользуемся разложениями:

, . Тогда .

б) Если ограничиться разложением , то в пределе получаем выражение . Чему равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно, какие бесконечно малые скрываются под и . Поэтому следует взять приближение

. Тогда .

Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной

Условия возрастания и убывания функции

Пусть функция определена на интервале .

Определение. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей) на , если для любых , верно неравенство . Функция возрастает (убывает) на , если для любых верно неравенство .

Теорема 5.1 (о необходимом и достаточном условии возрастания (убывания) функции)

Замечание. Условие , будучи достаточным для строгого возрастания (убывания) функции, не является необходимым. Это видно на примере функции , которая строго возрастает, но .

Локальный экстремум

Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)

Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в этой точке нет.

Доказательство. Если производная меняет знак с «+» на «–», то по теореме предыдущего пункта 5.1 (необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции) функция возрастает для значений и убывает для значений . Следовательно, , то есть – точка локального максимума функции (рис. 5.1).

Аналогично доказывается теорема и в случае минимума.

Теорема 5.3. (второе достаточное условие локального экстремума дважды дифференцируемой функции)

Пусть функция в критической точке имеет конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности точки при :

.

По условию , поэтому при . Если , то , и, следовательно, – точка локального минимума функции . Если же , то , и, следовательно, – точка локального максимума функции .

Пример 5.1. Доказать неравенство для .

Рассмотрим функцию Имеем . Для а для . Таким образом, на интервале убывает, на интервале возрастает, и так как непрерывна при , то точка является точкой минимума. Следовательно, для , откуда и вытекает неравенство

Пример 5.2. Исследовать на экстремум функцию .

Определим промежутки монотонности и экстремумы данной функции. Первая производная функции равна: . Находим критические точки: при и не существует при .

При , при . На каждом из промежутков функция возрастает, на промежутке убывает (рис. 5.2), в точке (-5; -4,5) имеет локальный максимум. Отметим, что , т. е. график функции имеет в этой точке горизонтальную

+ - + +

-1

х

Пример 5.3. Исследовать на экстремум функцию .

Первая производная функции равна . Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку . Далее находим вторую производную . Ее значение в точке равно . Согласно второму достаточному условию локального экстремума делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: