Определение функции, дифференцируемой в точке

Глава 3. Производная функции одной переменной

Производная функции в точке

Пустьфункция определена на множестве и – предельная точка множества Х. Напомним: для любой точки приращение определяется формулой . Приращением функции в точке называется функция аргумента :

.

Определение.Если существует конечный предел

,

то значение этого предела называют производной функции в точке , обозначают или .

Используются и другие символические обозначения производной:

, , .

Лагранж[1] Ньютон[2] Лейбниц [3]

Таким образом, по определению

, (3.1)

где .

Пример 3.1. Найдем производную функции в любой точке области определения:

.

Следовательно, функция имеет в каждой точке производную .

Физический смысл производной

Производная – скорость изменения функции в точке . В частности, если – время, – координата точки, движущейся по прямой в момент , то – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной

Угол между секущей АВ и осью Ох обозначим .

Определение. Если существует , то прямая с угловым коэффициентом , проходящая через точку , называется касательной к графику функции в точке .

Теорема 3.1. График функции имеет в точке касательную тогда и только тогда, когда функция имеет в точке производную .

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как функция непрерывна, то . Но . Поэтому , то есть функция имеет в точке конечную производную .

Достаточность. Если существует , то есть , то . Так как функции , непрерывные, то , то есть существует касательная к графику функции в точке .

Замечание. Так как , то при получаем .

Таким образом, – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

Уравнения касательной и нормали

Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде . Так как , то , откуда . Поскольку угловой коэффициент касательной , то ее уравнение имеет вид

.

Определение. Нормальной прямой (илинормалью)к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной в этой точке.

Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной формулой

.

Уравнение нормали к графику функции в точке

.

Бесконечные производные

Если функция непрерывна в точке и равен или , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную (равную или соответственно). В этом случае касательная к графику функции в точке параллельна оси ( ), и так как она проходит через точку , то ее уравнение имеет вид: .

Пример 3.2. Рассмотрим функцию , . Имеем

Рис. 3.2. График функции

Рис. 3.3. График функции

Односторонние производные

Пусть определена на множестве и – предельная точка .

Если существует конечный предел , то его называют левой производной функции в точке и обозначают .

Аналогично . Число (если оно существует), называется правой производной функции в точке .

Теорема 3.2. Пусть – предельная точка . Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда , , причем

.

Пример 3. 4. . .

Имеем: , .

Так как , функция не имеет производной в нуле.

Пример 3.5.Пусть . Выясним, существует ли производная этой функции в точке .

Имеем: .

Итак, функция в точке имеет производную .

Пример 3.6.

, то есть непрерывна в точке . Однако

не существует. Действительно, если , а если . Следовательно, предел по Гейне не существует.

Дифференцируемость функции одной переменной

Определение функции, дифференцируемой в точке

Функция , определенная на множестве , называется дифференцируемой в точке , предельной для множества , если существует такая линейная относительно приращения функция ( – некоторое число), что приращение функции представимо в виде

(3.2)

где . Так как , то (3.2) можно записать в виде

.

Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда ее приращение можно представить в виде (3.2). Имеем

.

Следовательно, производная существует и .

Достаточность. Пусть существует конечная производная . Тогда по определению производной . Положим

(3.3)

Функция является бесконечно малой при и непрерывной при . Действительно, . Кроме того, из (3.3) вытекает . Тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке .

Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из (3.2) вытекает равенство , то есть функция непрерывна в точке .

Обратное утверждение неверно. Непрерывность функции в точке является необходимым условием существования производной функции в этой точке, но не является достаточным.

В самом деле, пусть . Функция не имеет производной в нуле (пример 3.4), хотя она и непрерывна в любой точке .

Связь понятий: непрерывность функции, дифференцируемость функции, существование производной можно представить следующей схемой:

Функция дифференцируема в точке

Функция непрерывна в точке x0

Существует конечная производная

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: