Глава 2 Параллельность прямых и плоскостей

1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны, точка K –– середина ребра SD. Прямая l проходит через точку K параллельно диагонали AC основания ABCD пирамиды и пересекает плоскость SBC в точке T. Вычислите площадь треугольника SAC, если длина отрезка KT равна 5 см.

2. Найдите периметр сечения тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через прямую CK (точка K лежит на ребре SB так, что SK:KB=1:2)и параллельной медиане ST грани SAC, если площадь поверхности тетраэдра равна см².

3. Точки O и O₁ – центры граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Вычислите величину угла между прямыми AO₁ и B₁O.

4. В треугольной пирамиде SABC, суммы плоских углов при каждой вершине A, B, C равны 180°. Вычислите площадь сечения, параллельного плоскости SBC, которое делит ребро SA в отношении 2:3, считая от S, если площадь поверхности пирамиды равна 100 см².

Глава 3 Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через вершину B перпендикулярно прямой AB₁. Найдите площадь этого сечения, если AB=6 см, AA₁=8см, BD₁= см.

2. Основанием пирамиды SABC, боковое ребро SB которой перпендикулярного плоскости основания, служит равнобедренный треугольник (AB=BC, ÐABC=120°). Через середину ребра SB параллельно рёбрам SA и BC проведено сечение. Найдите площадь сечения, если AB=SB=8 см.

3. Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 1. Вычислите расстояние между прямыми A₁C и DC₁.

4. Найдите величину угла между диагональю A₁C прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, все рёбра которого равны, и плоскостью грани DCC₁D₁, если ÐBAD=60°.

5. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью MNP, где точки M, N и P– середины ребер BB₁, AD и DC соответственно. Найдите угол наклона плоскости сечения к плоскости ABC.

Класс

Алгебра

Глава 1 Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Глава 2 Показательная и логарифмическая функция

1. Найдите наименьшее значение функции g(x)=log₃(16-x²) на промежутке [0;√7].

Геометрия

Глава 1 Многогранники

Глава 2 Объёмы многогранников

1. Найти объём пирамиды, у которой все боковые рёбра образуют между собой углы по 900, а сами рёбра имеют длины соответственно 3 см, 4 см и 5 см.

2. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4см и 5см переплавили в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?

3. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы? Плотность чугуна 7,3.г/см3.

Глава 3 Тела вращения

1. Сколько медной проволоки диаметром 5 мм можно прокатать из слитка объемом 0,5 куб. м?

2. Сколько в связке электродов для электросварки, если их общая масса 10 кг. А каждый электрод – кусок стальной проволоки длиной 45 см и диаметром 6 мм? Плотность стали 7600 кг/куб.м.

3. Найти объем шахтного ствола диаметром 8 м, если его глубина 800 м.

4. Железобетонная панель имеет размеры 600х120х22см. По всей длине- 6 цилиндрических отверстий, диаметры которых 14 см. Найдите массу панели, если плотность материала 2,5 т/куб.м.

5. Внешний и внутренний диаметры кольца для колодца соответственно равны 1,3 м и 1,1 м, а высота 0,9 м. Сколько кубометров бетона нужно для изготовления 8 таких колец?

6. Найти массу десятиметровой трубы диаметром 1420 мм, сделанной из стального листа толщиной 22 мм. Плотность стали 7600 кг/куб.м. Сколько таких труб потребуется, чтобы проложить газопровод длиной 4451км?

7. Найти площадь поверхности (подлежащей изоляции) десятиметровой трубы диаметром 1420 мм.

8. Бревно длиной 20 дм имеет форму усеченного конуса с диаметрами оснований 2 дм и 1 дм. Требуется вырубить из бревна брус с квадратным поперечным сечением и наибольшим объемом, ось которого совпадала бы с осью бревна.

9. Какое количество нефти ( в тоннах ) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти 0,85 г/см3.

10. Диаметр Луны приблизительно составляет четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Земли и Луны, считая их шарами.

11. Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого 10 см, а толщина стенки равна 2мм (плотность меди 8,9 г/см3)?

12. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

13. Сосуд имеет форму полушара радиусом 3 см, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем 628 см3?

14. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

15. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. В него положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 4 см. переполнит ли мороженое стаканчик?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: