Теоретическая кривая распределения

Если постепенно увеличивать размер партии, то эмпирическая кривая распределения будет приближаться по форме к холмообразной кривой, представленной пунктирной линией на рис 13.1, а частота и частность на каждом интервале будут стремиться к некоторым значениям и на данном интервале, которые называются теоретической частотой и теоретической частостью. Очевидно, что в пределе при ; , а дискретная случайная величина становится непрерывной случайной величиной . График зависимости или от называется теоретической кривой распределения.

Закон нормального распределения

В математической статистике доказано и подтверждено многочисленными экспериментами, что для многих случайных процессов теоретическая частость определяется следующим выражением

. (13.13)

В нем

называется плотностью распределения случайной величины по нормальному закону или плотностью нормального распределения. Запись означает, что плотность является функцией от непрерывной случайной величины и двух параметров распределения: - среднего арифметического значения и - среднего квадратического отклонения. График этой функции приведен на рис. 13.2 и называется кривой нормального распределения.

Плотность распределения следует рассматривать, как вероятность появления случайной величины в точкахобласти ее определения. Там где , вероятность появления случайной величины максимальная. С увеличением разности эта вероятность уменьшается. В этой связи функцию называют еще плотностью вероятности.

Чтобы определить вероятность появления случайной величины в некотором интервале с плотностью распределения по нормальному закону, необходимо вычислить интеграл

, . (13.14)

Это выражение называется интегралом вероятности. В геометрическом смысле этот интеграл представляет собой площадь под кривой нормального распределения в пределах заданного интервала. Для достаточно узкого интервала согласно теореме о среднем

; . (13.15)

Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

1. Ось является асимптотой для ее ветвей.

2. При

. (13.16)

3. Кривая имеет две точки перегиба и , которые находятся на расстоянии от оси симметрии (рис.13.2). Ординаты их равны

. (13.17)

4. Если случайная величина может принимать любые численные значения в интервале , то независимо от и

. (13.18)

Это свойство вытекает из положения, что вероятность появления случайной величины на бесконечно большом интервале равна единице.

Положение кривой относительно начала координат, и ее форма определяются двумя параметрами и . С изменением форма кривой остается прежней. Изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 13.3). С изменением центр кривой остается на прежнем месте. Изменяется ее форма (рис.13.4). С увеличением кривая растягивается и уменьшается по высоте. Таким образом, как это уже было отмечено ранее, является мерой рассеяния случайной величины.

Нормирование распределения

Введем новую переменную . После замены переменной в (13.13) для плотности вероятности получаем

(13.19)

Соответственно для интеграла вероятности (13.14) будем иметь

(13.20)

где и - новые пределы интегрирования.

Это действие называется нормированиемраспределения случайных величин.

Сущность операции нормирования заключается к приведению множества кривых распределения к одной, зависящей только от нормированной переменной. Для этой кривой среднее арифметическое значение равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно единице. Графическая интерпретация процедуры нормирования заключается в совмещении центра группирования с началом новой системы координат . В этом случае кривая нормированного нормального распределения становится симметричной относительно оси ординат, а функция называется плотностью нормированного распределения.

Функция Лапласа

Применение функции Лапласа позволяет вычислить теоретические частость и частоту. Примем в формуле (13.20) ; . Тогда

, (13.21)

Интеграл называется функцией Лапласа.

Геометрически функцией Лапласа определяется площадь фигуры под кривой нормированного нормального распределения в промежутке от 0 до . Интеграл в нельзя выразить в элементарных функциях и его значение задано в специальных таблицах.

Выразим теоретическую частость через функции Лапласа. Из выражений (13.13) получаем

. (13.22)

Выполним операцию нормирования. В результате замены переменной будем иметь

.

Пусть < . Тогда, выражая через функции Лапласа, получим

, (13.23)

где и - новые пределы интегрирования.

Тогда

(13.24)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: