Теоретическая кривая распределения
Если постепенно увеличивать размер партии, то эмпирическая кривая распределения будет приближаться по форме к холмообразной кривой, представленной пунктирной линией на рис 13.1, а частота и частность на каждом интервале будут стремиться к некоторым значениям и на данном интервале, которые называются теоретической частотой и теоретической частостью. Очевидно, что в пределе при ; , а дискретная случайная величина становится непрерывной случайной величиной . График зависимости или от называется теоретической кривой распределения.
Закон нормального распределения
В математической статистике доказано и подтверждено многочисленными экспериментами, что для многих случайных процессов теоретическая частость определяется следующим выражением
. (13.13)
В нем
называется плотностью распределения случайной величины по нормальному закону или плотностью нормального распределения. Запись означает, что плотность является функцией от непрерывной случайной величины и двух параметров распределения: - среднего арифметического значения и - среднего квадратического отклонения. График этой функции приведен на рис. 13.2 и называется кривой нормального распределения.
Плотность распределения следует рассматривать, как вероятность появления случайной величины в точкахобласти ее определения. Там где , вероятность появления случайной величины максимальная. С увеличением разности эта вероятность уменьшается. В этой связи функцию называют еще плотностью вероятности.
Чтобы определить вероятность появления случайной величины в некотором интервале с плотностью распределения по нормальному закону, необходимо вычислить интеграл
, . (13.14)
Это выражение называется интегралом вероятности. В геометрическом смысле этот интеграл представляет собой площадь под кривой нормального распределения в пределах заданного интервала. Для достаточно узкого интервала согласно теореме о среднем
; . (13.15)
Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:
1. Ось является асимптотой для ее ветвей.
2. При
. (13.16)
3. Кривая имеет две точки перегиба и , которые находятся на расстоянии от оси симметрии (рис.13.2). Ординаты их равны
. (13.17)
4. Если случайная величина может принимать любые численные значения в интервале , то независимо от и
. (13.18)
Это свойство вытекает из положения, что вероятность появления случайной величины на бесконечно большом интервале равна единице.
Положение кривой относительно начала координат, и ее форма определяются двумя параметрами и . С изменением форма кривой остается прежней. Изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 13.3). С изменением центр кривой остается на прежнем месте. Изменяется ее форма (рис.13.4). С увеличением кривая растягивается и уменьшается по высоте. Таким образом, как это уже было отмечено ранее, является мерой рассеяния случайной величины.
Нормирование распределения
Введем новую переменную . После замены переменной в (13.13) для плотности вероятности получаем
(13.19)
Соответственно для интеграла вероятности (13.14) будем иметь
(13.20)
где и - новые пределы интегрирования.
Это действие называется нормированиемраспределения случайных величин.
Сущность операции нормирования заключается к приведению множества кривых распределения к одной, зависящей только от нормированной переменной. Для этой кривой среднее арифметическое значение равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно единице. Графическая интерпретация процедуры нормирования заключается в совмещении центра группирования с началом новой системы координат . В этом случае кривая нормированного нормального распределения становится симметричной относительно оси ординат, а функция называется плотностью нормированного распределения.
Функция Лапласа
Применение функции Лапласа позволяет вычислить теоретические частость и частоту. Примем в формуле (13.20) ; . Тогда
, (13.21)
Интеграл называется функцией Лапласа.
Геометрически функцией Лапласа определяется площадь фигуры под кривой нормированного нормального распределения в промежутке от 0 до . Интеграл в нельзя выразить в элементарных функциях и его значение задано в специальных таблицах.
Выразим теоретическую частость через функции Лапласа. Из выражений (13.13) получаем
. (13.22)
Выполним операцию нормирования. В результате замены переменной будем иметь
.
Пусть < . Тогда, выражая через функции Лапласа, получим
, (13.23)
где и - новые пределы интегрирования.
Тогда
(13.24)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|