Счетные и несчетные множества.
Свойства прообразов и образов
- ;
- ;
- ;
- . Заметим отсутствие равенства в этом случае.
Обратная функция.
Определение.Пусть функция f:A→B.
1) Если для любых двух различных элементов х1 и х2 из А их образы у1=f(x1) и у2=f(x2) также различны,
х1≠х2 f(x1)≠f(x2) (f(x1)=f(x2) x1=x2).то отображение f называется инъекцией.
Отображение называется инъекцией (или вложением, или отображением в Y), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y. Т.е. если х1¹х2Þf(x1)¹f(x2).
Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы ( ). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).
(Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, т.е. инъективно, если существует такое, что .)
Примеры
1. — инъективно.
2. — инъективно.
3. — не является инъективным (F( - 2) = F(2) = 4).
2) Отображение называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, т. е. .
Т.е. если f(X)=Y или такое, что y=f(x), то отображение f действует на Y (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.
В общем случае, т.е. когда f(X)ÌY, говорят, что f есть отображение X «в» Y.
Эквивалентные определения
Следующие свойства отображения эквивалентны:
1. F сюръективно
2. каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз во множестве X при отображении F.
3. образ множества X при отображении F(X) совпадает с Y
4. F имеет правое обратное отображение, т.е. такое отображение , что F(G(y)) = y для любого .
Примеры
1. — сюръективно.
2. — сюръективно.
3. — не является сюръективным.
Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называетсябиекциейиливзаимно однозначнымсоответствием между А и В.
В этом случае множества А и В находятся во взаимно однозначном соответствии.
Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:
1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
o .
2. Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
o .
Биекцию также называют взаимно однозначным отображением.
(Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.)
Примеры
· ( — функция, сохраняющая все элементы множества X, биективна на этом множестве.)
· — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.
· f(x) = ex — биективная функция в . Но если её рассматривать как функцию в , то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательных чисел не будет прообразов).
· f(x) = sinx не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
· Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что и .
· Если функции f и g биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.
Можно определить новую функцию:
f-1:B→A, x=f-1(y) – обратная функция, относительно f.
Примеры.
1) f(x)=ex (график)
f:(-∞;+∞)→(0;+∞) f-1: (0;+∞)→(-∞;+∞)
ex=y x=ln y. f-1=ln x
2) y=x2 (график)
f:(-∞;+∞)→[0;+∞)
Функция не является (не является инъекцией) взаимно однозначной.
Рассмотрим только одну ветвь f: [0;+∞)→[0;+∞)
x2=y x= f-1(x)=
Любая строго монотонная функция имеет обратную (т.к. является взаимно однозначной).
Суперпозиция функций (сложная функция).
Пусть есть 2 функции:
¦: A→B и g: D→F
Пусть область определения D функции g входит в область значений функции f (DÌB). Тогда можно определить новую функцию – суперпозицию (композицию, сложную функцию) функций f и g: z=g(¦(x)).
Примеры.f(x)=x2, g(x)=ex. f:R→R, g:R→R.
¦(g(x))=e2x, g(¦(x))= .
Определение
Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:
.
Свойства композиции
· Композиция ассоциативна:
.
· Если F = idX — тождественное отображение на X, то есть
,
то
.
· Если G = idY — тождественное отображение на Y, то есть
,
то
.
· Рассмотрим пространство всех биекций множества X на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. idX является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.
· Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .
Дополнительные свойства
· Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть — топологические пространства. Пусть и две функции, . Тогда .
· Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть . Тогда , и
.
Счетные и несчетные множества.
Два конечных множества состоят из равного числа элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов конечного множества – мощность множества.
Для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его частью.
Самым простым из бесконечных множеств является множество N.
Определение. Множества А и В называются эквивалентными(А~В), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов.
Если же эквивалентные между собой множества А и В произвольны , то говорят, что А и В имеют одинаковуюмощность. (мощность = эквивалентность).
Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества.
Определение. Множество называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. (Т.е. счетное множество – бесконечное, эквивалентное множеству N).
(Т.е. все элементы счетного множества можно занумеровать).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|