Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
Определение. Пусть x1,x2,…,xn,… (1)
Некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную, возрастающую последовательность натуральных чисел {nk}: n1<n2<…
Построим новую последовательность : .
- подпоследовательность {xn}
Пример. xn=n : 1,2,3,..
Подпоследовательности: 2,4,6,8,… и 1,3,5,…
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность сходится и имеет тот же предел.
Доказательство. Пусть xn→а, n→¥, возьмем e>0, ему отвечает номер N такой, что .(*)
Пусть - подпоследовательность. Покажем, что →а при k→¥.
Найдем такой номер , что >N, тогда, если k>k0, то nk>N, поэтому из (*) следует, что , т.е. =а. ч.т.д.
Теорема 2 (теорема Больцано-Вейерштрасса).Из каждой ограниченной числовой последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть {xn}-ограниченная, тогда существуют конечные числа а0 и b0 такие, что "nÎN Þ а0£xn£b0, т.е. "nÎN xnÎ[а0;b0].
Разделим промежуток [а0;b0] пополам. Хотя бы в одной половине этого промежутка будет содержаться бесконечное множество элементов последовательности {xn} (т.к. иначе во всем промежутке [а0;b0] их было бы конечное число). Обозначим эту половину через [а1;b1]. (Если обе половины промежутка [а0;b0] содержат бесконечное множество элементов последовательности {xn}, то через [а1;b1] обозначим одну и только одну из них.) b1-а1= и а0£а1<b1£b0.
Промежуток [а1;b1] так же делим пополам и берем ту его половину, которая содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}. Обозначим эту половину через [а2;b2]. b2-а2= и а0£а1£a2<b2£b1£b0.
Продолжая этот процесс, получим две бесконечные последовательности:
a0,a1,…,ak,…(a0£a1£…£ak£…) (1)
b0,b1,…,bk,…(b0³b1³…³bk³…) (2)
bk-аk= , k=1,2,…
Последовательность (1) – неубывающая и ограниченная сверху, например числом b0; последовательность (2) невозрастающая и ограничена снизу, например числом а0. Значит обе эти последовательности имеют конечные пределы.
Пусть =с. Имеем bk-аk= Þ bk=аk+ . Т.к. =0, то, переходя в равенстве bk=аk+ к пределу, получаем:
= + =с+0=с.
Т.о. последовательности (1) и (2) имеют один и тот же конечный предел с. Покажем, что из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность : такую, что =с
Из элементов последовательности {xn}, попавших в промежуток [а1;b1], возьмем какой-нибудь один, обозначим его Т.к. элементами х1,х2,…, не исчерпывается множество всех элементов последовательности {xn}, которые попали в промежуток [а2;b2], то в [а2;b2] имеются xn такие, у которых номер n>n1. Возьмем один из них. Пусть это будет Î[а2;b2], причем n2>n1.
Аналогичным образом можно найти Î[а3;b3] и n3>n2. Продолжая этот процесс, придем к последовательности , , ,…, ,… такой, что n1<n2<…<nk<… и "k Î[аk;bk]. Эта последовательность будет требуемой, т.к. "k:
ak£ £bk, а = =с.
Следовательно, по теореме о пределе промежуточной последовательности, =с. Ч.т.д.
Пусть {xn}-ограниченная т.е.
1) Рассмотрим случай, когда множество значений последовательности {xn} конечно: {a1,a2,…,ak}.
В этом случае существует постоянная подпоследовательность : , k=1,2,… и имеет предел.
2) Множество значений последовательности {xn}бесконечно.
М={Множество значений последовательности {xn}} – бесконечно и ограничено (т.к. {xn}-ограниченная).
Согласно «лемме о предельной точке», множество М содержит хотя бы одну предельную точку – точку а.
В окрестности точки а бесконечно много элементов множества М.
Выберем из этой окрестности элемент ≠a.
Уменьшим окрестность так, чтобы в нее не попал элемент и чтобы длина окрестности была не больше 1.
Выберем элемент ≠a из новой окрестности так, чтобы n2>n1.
Уменьшим окрестность так, чтобы в нее не попал элемент и чтобы длина окрестности была не больше .
Выберем элемент ≠a из новой окрестности так, чтобы n3>n2. И так до бесконечности. В результате получим подпоследовательность →а, k→¥ (Т.к. получили, что ч.т.д.
Определение.Пусть дана последовательность {xn}. Предел ее подпоследовательности называется частичным пределом данной последовательности.
Примеры.1) Последовательность xn=n не имеет частичных пределов.
2) последовательность 1,0,1,0,… имеет 2 частичных предела 1 и 0.
Пусть дана последовательность {xn}. А={множество всех частичных пределов}.
Рассмотрим случай, когда множество А ограничено и сверху, и снизу. Тогда существуют минимальный и максимальный элементы множества А: min A=a и max A=b.
Определение. Наибольший из всех частичных пределов последовательности {xn} называется верхним пределом последовательности.
Наименьший – нижним пределом.
Обозначения: = - нижний предел, = - верхний предел.
Теорема 4. Для любого числа e>0 $N=N(e): "n>N все элементы последовательности {xn} входят в интервал ( -e, +e).
Доказательство. Т.к. является точной нижней границей множества {xn}, то "e>0 $х¢< +e и х¢Î{xn}. Это означает, что справа от элемента х¢, а стало быть и справа от интервала ( -e, +e) может лежать лишь конечное число элементов последовательности {xn}. Аналогично доказывается, что и слева от интервала ( -e, +e) может лежать лишь конечное число элементов последовательности {xn}.
Теорема 5.Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали.
Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {xn} сходится, тогда она ограничена и имеет единственный предел. Следовательно, = = =
Достаточность. Пусть = =х. Тогда по теореме 4 интервал ( -e, +e) совпадает с e-окрестностью точки х, т.е. "e>0 $N=N(e): "n>N все элементы последовательности {xn} входят в окрестность (х-e,х+e)., а это и означает, что х – предел последовательности. Ч.т.д.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|