Монотонные последовательности.
Определение.Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если n=1,2,… xn£xn+1
Если n=1,2,… xn<xn+1, то {xn} – строго возрастающая.
Если n=1,2,… xn³xn+1, то {xn} – убывающая (невозрастающая).
Если n=1,2,… xn>xn+1, то {xn} – строго убывающая.
Последовательности всех рассмотренных типов называются монотонными.
Примеры.1) 1,1,0,0,…- убывающая.
2) : 1, , ,… - строго убывающая.
Теорема 1. 1) Если последовательность {xn} неубывающая (в частности строго возрастающая) и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.
2) Если последовательность {xn} неубывающая (в частности строго возрастающая) и сверху не ограничена, то .
Доказательство.1) Пусть последовательность {xn} возрастающая, т.е. n=1,2,… xn£xn+1
Т.к. числовое множество {xn} ограничено сверху, то С: n=1,2,… xn£С
Пусть а= - точная верхняя граница – т.к. всякое ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу. (Покажем, что =а.)
Тогда n=1,2,… xn£а (1)
Возьмем сколь угодно малое e>0 и рассмотрим число а-e. Т.к. а-e<a, то по свойству супремума на множестве {xn} найдется такой элемент , что будет >a-e.
Т.к. последовательность неубывающая, то n³N Þ xn ³ (2)
Следовательно, при n³N будет xn> >a-e (3)
При n³N будут выполняться неравенства (1) и (3), т.е.
а-e<xn£a, а значит и а-e<xn£a+e, т.е. . А это значит, что =а. 2) По условию числовое множество {xn} не ограничено сверху.
Это означает, что какое бы большое число М>0 мы ни взяли, на множестве {xn}обязательно найдется хотя бы одни элемент такой, что >M.
Т.к. последовательность {xn}неубывающая, то при n>N Þ xn ³ , а, следовательно, при n>N будет xn>M. А это означает, что . Ч.т.д.
Теорема 2. 1) Если последовательность {xn} невозрастающая (в частности строго убывающая) и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.
2) Если последовательность {xn} невозрастающая (в частности строго убывающая) и снизу не ограничена, то .
(Доказательство – аналогично доказательству теоремы 1).
Доказательство.1) Пусть последовательность {xn} невозрастающая, т.е. n=1,2,… xn³xn+1
Т.к. числовое множество {xn} ограничено снизу, то существует точная нижняя граница этого множества.
Пусть b= - точная нижняя граница. Тогда n=1,2,… xn³b (4)
Возьмем сколь угодно малое e>0 и рассмотрим число b+e. Т.к. b+e>b, то по свойству инфимума на множестве {xn} найдется такой элемент , что будет <b+e.
Т.к. последовательность невозрастающая, то n³N Þ xn£
Следовательно, при n³N будет xn£ <b+e (5)
При n³N будут выполняться неравенства (4) и (5), т.е.
b£xn<b+e, а значит и b-e<xn<b+e, т.е. . А это значит, что =b.
2) По условию числовое множество {xn} не ограничено снизу.
Это означает, что какое бы большое число М>0 мы ни взяли, на множестве {xn}обязательно найдется хотя бы одни элемент такой, что <-M.
Т.к. последовательность {xn}невозрастающая, то при n>N Þ xn£ , а, следовательно, при n>N будет xn<-M. А это означает, что . Ч.т.д.
Замечание. Все утверждения теорем 1 и 2 остаются в силе и для последовательности, которая становится монотонной лишь начиная с некоторого номера, т.е. при n³N*, N*ÎN (т.к. без влияния на предел последовательности – любое число первых ее значений можно отбросить).
Пример. Найти (a>0).
Если 0<a<1, an – б.м. величина. Поэтому =0. При а=1 = =0.
Пусть a>1. В этом случае отношение представляет собой неопределенность . Обозначим =xn. Имеем:
xn+1= = × =xn× .
Как только n+1>a (т.е. n>a-1), так последовательность xn становится строго убывающей. Последовательность xn ограниченна снизу (например, числом 0). Следовательно, по теореме 2 последовательность xn имеет конечный предел. Обозначим его через с.
Для того, чтобы найти его, перейдем к пределу в равенстве
xn+1=xn×
Т.к. xn+1 пробегает ту же последовательность значений, что и xn (с точностью до первого члена), то xn+1 имеет тот же предел с. Будем иметь:
= × Ûс=с×0Þс=0.
Т.о., при a>1 =0.
Число е.
Определение. Числом е называется предел последовательности xn= , т.е.
е=
1. Покажем, что последовательность - строго возрастающая.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Числа , являющиеся коэффициентами в формуле бинома Ньютона, называются биномиальными коэффициентами.
Применяя эту формулу n-й член последовательности можно представить в виде:
хn=
или
хn=
(1)
Аналогично для хn+1 члена последовательности:
хn+1=
(2)
Правая часть соотношения (1) содержит n слагаемых, а правая часть соотношения (2) – (n+1) слагаемых.
Сравнивая хn и хn+1, замечаем, что первые слагаемее в правых частях соотношений (1) и (2) одинаковы, 2-е, 3-е,…,n-е слагаемое у хn+1 больше, чем у хn, т.к.
; ; ….;
Кроме того, в составе хn+1 есть еще (n+1)-е слагаемое, которого в составе хn нет и которое является положительным. Следовательно, хn<хn+1 , значит хn - возрастающая.
2. Покажем, что хn ограничена сверху. Для этого воспользуемся соотношением (1). Заменим все разности, стоящие в скобках в правой части этой формулы, на единицы, отчего правая часть увеличится (т.к. каждая разность меньше 1). Получим
хn<2+ + +…+ +…+
Т.к. = , < ,…, < ,…, <
Поэтому, хn<2+ + +…+ +…+
Т.к. + +…+ +…+ < + +…+ +…+ +…=1,
То получаем, что хn<2+1=3 , т.е. хn ограничена сверху.
Из (1) видно, что хn³2, следовательно 2£хn<3 .
Т.к. хn монотонна и ограничена сверху, то существует конечный , величина которого заключена между 2 и 3. Этот предел обозначается буквой е.
Натуральный логарифм.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|