Прямая и плоскость в пространстве

Уравнение вида F(x,y,z)=0 есть уравнение линии или поверхности в пространстве, если координаты всех точек, лежащих на этой линии (поверхности) удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не лежащих на этой линии – не удовлетворяют.

Уравнение прямой, заданное уравнением первой степени общего вида Ax+By+C=0, называется уравнением прямой общего вида

Рассмотрим случаи:

В=0 → Ах+С=0 → прямая параллельная оси ОУ. В≠0 → Ву= -Ах-С → y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k=-A/B, b=- C/B.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох вокруг начала координат О, чтобы прямая стала параллельна этой оси.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

если в=0, →у=кх - уравнение пучка прямых, проходящих через начало координат.

если к=0, →у=в прямая параллельная оси Ох.

если к=0, в=0, →у=0 - уравнение оси Ох.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (уравнение пучка прямых)

Любую прямую не параллельную оси Оу можно записать в виде у=кх+в.

Пусть прямая проходит через точку М(х0,у0). тогда справедливо у0=кх0+в. Вычтем у-у0=к(х-х0)

Ураснение прямой,проходящей через 2 заданные точки:

М1(х1,у1) →у-у1=к(х-х1) М2(х2,у2) →у-у2=к(х-х2) Поделим почленно

Уравнение прямой в отрезках на осях Ах+Ву+С=0 (2)

Если N(а,0) принадлежит прямой → Аа+С=0 (*) Если M(0,в) принадлежит прямой → Вв+С=0 (**)

Найдем из (*) и (**) А и В Подставив в (2) получим

Расстояние d от точки М0(х0,у0) до прямой, заданной уравнением общего вида Ax+By+C=0

Системы линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Например:

Исходная система в матричной форме. Обозначим:

где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.

Систему можно записать в виде: АХ=В.

Матрицы, классификация.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (А, В, С…), а элементы матриц строчными буквами с двойным индексом: а_ij , где i – номер строки, j – номер столбца. в сокращенной записи А=( а_ij) i=1.. m; j=1.. n.

Две матрицы А и В одного размера mхn называются равными, если они совпадают поэлементно,

т.е. а_ij =b_ij для всех i=1.. m; j=1.. n.

Классификация матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы а_ij, у которых i = j называютсядиагональными элементамии образуютглавную диагональ.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называетсядиагональной .

Единичной,называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю.

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой b_ij =λ а_ij для всех i=1… m; j=1… n.

Сложение матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij =а_ij+ b_ij для всех i=1… m; j=1…n.

Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + ( −1 )∙В.

Умножение матриц.

Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Целой положительной степенью А^m квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т.е. А^m = А ∙А∙ …∙А

Транспонирование матрицы.

Транспонированием матрицыназывается переход от матрицы А к А^т (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. А^т – называется транспонированной относительно матрицы А.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: