Статистическое определения вероятности

— Пусть произведена серия из N испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться событие А. Тогда абсолютной частотой (или частотой) Fназывается число появлений события А, а относительной частотой (или частостью) f(A)—отношение абсолютной частоты к общему числу испытаний: f(A)= F/N.

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Элементы комбинаторного анализа

Основные задачи комбинаторного анализа – размещение объектов в соответствии со специальными правилами и нахождение числа способов, которыми это можно сделать.

Если правила просты, то основным является подсчет числа возможностей для осуществления искомого размещения. Если правила тонкие или запутанные, то главной проблемой становится вопрос существования таких размещений и нахождения методов их построения.

Пусть дано множество S произвольной природы.

Определение 1. Размещением объема k элементов множества S называется упорядоченная выборка k элементов из множества S.

Определение 2. Сочетанием объема k называется неупорядоченная выборка k элементов множества S.

Определение 3. Размещение (сочетание) называется размещением (сочетанием) с повторением или с возвращением, если элементы в нем могут повторяться.

Непосредственный подсчет вероятностей.

Теоремы сложения вероятностей.

— Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

Если и противоположные события, то

Теорема сложения вероятностей

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теоремы умножения вероятностей.

— Теорема умножения. Если А и В независимые события, то

— Р(АВ) = Р(А)Р(В).

— Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:

— Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ) .

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий.

Тогда

. (1)

Формула (1) называется формулой полной вероятности.

Теорема Байеса

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. Иначе, по формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, беря в учет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.

— Предположим, что в результате испытания событие А произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы Н_k , т.е. P(H_k/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез). Ответ дает формула Байеса:

или

— априорная вероятность гипотезы A;

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— вероятность наступления события B.

— математическая формула априорной вероятности наступления события B , где суммирование идет по всем гипотезам Ai;

Формула Бернулли

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P_k,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где q = 1-p.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: