Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, Ролля, Лагранжа.
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x0)=0.
Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на [a,b];
2. дифференцируема на [a,b];
3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка
ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).
Теорема Лагранжа.Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на [a,b];
2. дифференцируема на [a,b].
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка
С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.
Функция нескольких переменных и их непрерывность.
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1, х2... хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z.
Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x1, х2 , ... хn).
Например, формула z = π x12 х2 задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x1 и высоты х2 .
Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.
Производные функций нескольких переменных.
Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу).
Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у).
Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно
Δхz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δуz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.
Функция z = f (x,у) называется непрерывнойв точке М0(х0,у0),если
1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.
2. 2.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е.
Дифференциалы функции нескольких переменных.
Определение: Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
Поиск экстремума функции одной переменной.
Точка х0 называется точкой минимумафункции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х0).
Точка х1 называется точкой максимумафункции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х1).
Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремумафункции.
Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х0) = 0) или не существовала.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.
Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Схема исследования функции на экстремум
1.Найти производную у¢ = ¦¢( х).
2.Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.
3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|