Формулы длин дуг плоских кривых.

Длина кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной в полярных координатах уравнением

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) : 6) .

2. Найти площади фигур ограниченных линиями:

1) , , ; 2) , у=1-х², х=0; 3) , х=е ,у=0.

3.Найти объём тела , образованного вращением фигуры ограниченной линиями:

=4-х²; у=0; х=0;

1) вокруг оси Ox; 2) вокруг оси Oy.

4. Найти длину дуги кривой:

а) отсеченной осью Ox;

б)

в) Кардиоиды

Тема 16.

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

, ,

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченнойфункции называется интеграл вида:

Признак сравнения. Если функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , то для любого

2) Если , то для любого

.

Итак, данный интеграл при сходится, при расходится и при расходится.

Пример 2.Исследовать сходимость .

Решение.Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как (см. пример 1.) Следовательно, согласно признаку сравнения , сходится и данный ряд.

Пример 3.Исследовать сходимость , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , для некоторого ,то

2) Если , то

,

3) Если , для некоторого , то

.

Контрольные вопросы.

1. Несобственные интегралы.

2. Признак сравнения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4) , 5) , 6) .

Контрольная работа № 1

Задание № 1. Найти производную функций:

Вариант 1: а) y=(5x²+4 + 6)⁵, б) y= ,

в) y=2^{tg x} ∙sin3x, г) y=ln ctg .

Вариант 2: а) y=(2x⁴ – +2)³, б) y= ,

в) y=3^sin2x ∙arccos x, г) y= ln tg 4x.

Вариант 3: а) y=( x⁸+8 –1)³, б) y= ,

в) y=2^{arctg x} ∙sin3x, г) y= ctg ln .

Вариант 4: а) y=( x⁵–3 – 4)⁵, б) y= ,

в) y=3^cos3x ∙sin3x, г) y= tg ln 4x.

Вариант 5: а) y=(3x⁷+5 –3)³, б) y= ,

в) y=2^{arcsin x} ∙tg x, г) y= ln .

Вариант 6: a) y= (5x⁴ – +3)², б) y= ,

в) y=5^tg2x ∙arccos x, г) y= ln .

Вариант 7: а) y= (4x³ + -2)⁵, б) y= ,

в) y=e ^{arctg x} ∙cos 3x, г) y=ln .

Вариант 8: а) y= (7x⁵–3 - 5)⁴, б) y= ,

в) y=5^{arccos 2x∙}∙sin x, г) y=sin( ln5x).

Вариант 9: а) y= (3x⁴ + -3)⁵, б) y= ,

в) y=2^{cos x} ∙arcsin x, г) y=ln sin 5x.

Вариант 10: а) y= (6x³ – + 6)⁵, б) y= ,

в) y=5 ^tg2x ∙arctg2x, г) y=ln cos 2x.

Задание № 2.

Найти пределы функций:

Вариант 1. ; ; ;

; .

Вариант 2. ; ; ;

; .

Вариант 3. ; ; ;

; .

Вариант 4. ; ; ;

; .

Вариант 5. ; ; ;

; .

Вариант 6. ; ; ;

; .

Вариант 7. ; ; ;

; .

Вариант 8. ; ; ;

; .

Вариант 9. ; ; ;

; .

Вариант 10. ; ; ;

; .

Задание № 3.

Провести полное исследование функции и построить ее график:

Вариант 1: . Вариант 2: .

Вариант 3: . Вариант 4: .

Вариант 5: . Вариант 6: .

Вариант 7: . Вариант 8: .

Вариант 9: . Вариант 10: .

Задание №4 . Найти производную функции, заданной

параметрически: .

Вариант №			Вариант №

Задание №5.Найти производную неявной функции, заданной уравнением

Вариант №		Вариант №

Задание №6.

а) вычислите определенный интеграл

b) найдите первообразную и сделайте проверку дифференцированием.

Вариант №
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)

Задание №7. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

Вариант №
	у¢ + у = х	у(0)=0
	ху¢ - у = х3	у(1)=0
	у¢ + у = х + 2	у(0)=0
	у¢ + 2ху = 2х	у(0)=5
		у(1)=е
	ху¢ - у = х3	у(1)=
		у(1)=2
	2ху + х2 у¢ = 0	у(1)=1
	у¢ + 2ху = 2х2 ×	у(0)=0
	у¢ + у tg х = 2х cos х	у(0)=0

Рекомендуемая литература

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М., 1989.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. – М., 1982.

3. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М., 1986.

4. Данко П. Е..и др. Высшая математика в примерах и задачах. – М.: Высшая математика, 1986.

5. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., 1983.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: