Базис. Разложение вектора по базису.

1⁰ Базис. Рассмотрим в пространстве R³систему декартовых прямоугольных координат. Тройку векторов, удовлетворяющих условиям:

1) Вектор лежит на оси Oх, вектор на оси Oу, вектор на оси Oz.

2) Векторы сонаправлены с осями.

3) Векторы единичные, т.е. , , ,

называют координатным базисом.

Любой вектор в пространстве может быть выражен через векторы при помощи линейных операций.

2⁰Пусть вектор, задан координатами начала и конца А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂).

Проекции вектора на оси координат определяются формулами:

(2)

Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут:

или (3)

Формула:

(4)

выражает длину вектора , через его координаты. В частности длина радиус вектора точки М (х,у,z) равен

,

3⁰ Пусть и - углы вектора с осями координат. Из формул (1) и (4) получаем:

(5)

причём

называются направляющимися косинусами.

Пример2. Пусть (см.рис.) М- середина ВС и N- середина AC. Определить векторы , , при .

Решение. Имеем , . ,

, , .

Следовательно,

и . Аналогично,

, , и

Ответ: , .

Пример3. Даны точки А(1;2;3) и В(3;-4;6). Найти длину вектора и направляющие косинусы.

Решение. По формулам (2) имеем:

Х=3-1=2

Z=6-3=3

Следовательно, .

Далее по формуле (4) и (5) получим:

, при этом

Пример 4. Радиус вектора точки М составляет с осью ох угол 45⁰ с осью оу угол 60⁰ . Длина его r=6. Определить координаты точки М, если её координата z- отрицательна, и выразить вектор , через

Решение. По формулам (5) имеем:

т.е. , , , , , следовательно,

z²=9, , т.к. координата z отрицательна, то z=-3.

3.Скалярное произведение.

1⁰ Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается .

Где угол между векторами и . Так как и , то можно записать .

2⁰ Свойства скалярного произведения:

1) = .

2) .

3) .

4) Если а , то = . В частности

1) Если то =

2) Для базисных векторов :

,

3⁰ Если векторы и заданны своими координатами:

, , то

4⁰ Угол между векторами:

Условие параллельности векторов и есть:

т.е. .

Пример 5. Определить угол между векторами и .

Решение. , . ,

.

Пример 6. Определить угол между векторами ,

Решение.

,

.

Пример 7. Определить углы треугольника с вершинами

А(2;-1;3), В(1;1;1) и С(0;0;5).

Решение. По формуле (2) найдём координаты векторов:

Скалярное произведение из (8):

Следовательно, векторы и перпендикулярны и согласно свойству угол .

Далее находим координаты вектора:

По формуле (9):

Следовательно, Ответ: ,

Пример 8. Найти скалярное произведение векторов

Решение. . Так как то

Векторное произведение.

1⁰ Векторным произведением вектора , на вектор называется вектор , такой что:

1) длина вектора равна где угол между векторами, т.е. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах .

2) Вектор , перпендикулярен каждому из векторов .

3) Векторы образуют правую тройку векторов, т.е. кратчайший поворот вектора в сторону вектора виден из точек совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обозначается .

2⁰ Свойства векторного произведения:

1) , если - коллинеарные векторы (т.е. параллельные одной прямой)

2) = .

3)

4) .

3^{0 , ,}

^{, , , .}

4⁰ Выражение векторного произведения через координаты сомножителей: .

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде:

5⁰ Площадь параллелограмма построенного на векторах :

S=

И площадь треугольника построенного на векторах :

S=

Пример 8 . Даны векторы , .

Найти: 1) , 2)

Решение.1) Находим векторное произведение .

= .

2) Найдём координаты вектора и находим векторное произведение и

.

Ответ: .

Пример 9. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Находим векторное произведение :

= .

Ответ: S=49 кв.ед.

Пример 10. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6) и С(4;5;-2).

Решение. находим векторы и :

=

=

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма построенного на векторах и , поэтому находим векторное произведение этих векторов:

Ответ: S=24,5 кв.ед.

5.Смешанное произведение трех векторов.

1⁰ Смешенным произведением векторов и , называется выражение вида . Если векторы и заданны своими координатами , , , то смешанное произведение определяется формулой:

2⁰ Свойства смешанного произведения:

1)

2) Если два из трёх данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно 0.

3) , поэтому смешанное произведение обозначается авс.

3⁰ Объём параллелепипеда, построенного на векторах и :

( + при правой тройке, - при левой)

Объём пирамиды построенной на векторах :

4⁰ Если , то векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. При этом, между и существует линейная зависимость вида .

Пример 11. Найти смешанное произведение векторов , .

Решение. По формуле (15), находим:

.

Ответ: 4.

Пример 12. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2).

Решение.Найдём векторы и , совпадающие с рёбрами пирамиды, сходящимися в вершине А:

Найдём смешанное произведение этих векторов:

=

Так как объём пирамиды равен объёма параллелепипеда построенного на векторах , то .

Ответ: куб. ед.

Пример 13. Даны радиус вектора трёх последовательных вершин параллелограмма ABCD: Определить радиус вектора четвёртой вершины.

Решение. Пусть

Так как , то и так как , то .

Решая систему

Получим x=7, y=7, z=7.

Ответ. .

Пример 14. Установить, компланарны ли векторы , если

Решение. Найдём смешанное произведение:

=

следовательно, векторы компланарны.

Контрольные вопросы.

1.Векторы. Линейные операции над векторами.

2.Базис. Разложение вектора по базису.

3.Скалярные произведения.

4.Векторные произведения.

5.Смешанное произведение двух векторов.

Задания.

1. Проверить векторные тождества

1) , 2) .

2. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=60⁰ , ОВ=ВС=СА=2, М и N- середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и , через и , где и единичные векторы направлений и .

4. Вектор составляет с координатными осями ох и оу углы 60⁰ и соответственно. Вычислить его координаты при условии

5. Даны точки А(2;2;0) и В(0;-2;5). Построить вектор и определить его длину и направление.

6. Даны векторы , . Вычислить:

а) , б) , в) , г) .

7. Определить при каком значении m векторы и , взаимно перпендикулярны.

8. Даны точки А(3;3;-2), В(0;-3;-4), С(0;-3;0) и D(0;2;-4). Построить векторы и найти

9. Векторы образуют угол , зная что вычислить:

1) , 2) 3) 4) 5) .

11.Векторы составляют угол . Найти площадь треугольника построенного на векторах , если

12.Даны векторы . Найдите и . 13.Даны векторы Найти координаты векторного произведения

14.Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах и если ,

15.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , .

16. Найти смешанное произведение векторов: a=i-j+k, в=i+j+k, c=2i+3j+4k.

17. Показать, что векторы: a=7i-3j+2k, в=3i-7j+8k, c=i-j-k - компланарны.

3) Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3) и D(3;7;2). Найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань BCD.

Тема 5.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: