Алгебраические дополнения и миноры.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ
«Институт пищевых технологий и дизайна» - филиал государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Нижегородский инженерно-экономический университет»
Кафедра информационных технологий и математики
Е.Ю.Саляева
«Высшая математика»
Часть I.
Учебно-методические указания по выполнению контрольной работы для студентов
Заочной формы обучения
Нижний Новгород
Содержание
|
|
Тема 1.
|
| 1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.
|
| 2. Прямоугольные координаты на плоскости.
|
| 3. Полярные координаты.
|
| 4. Прямоугольная система координат в пространстве.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 2.
|
| 1. Определители.
|
| 2. Алгебраические дополнения и миноры.
|
| 3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.
|
| Контрольные вопросы. Задания
|
| Тема 3.
|
| 1. Матрицы
|
| 2. Обратная матрица
|
| 3. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
|
| 4. Ранг матрицы.
|
| 5 Исследование системы линейных уравнений.
|
| 6 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
|
| Контрольные вопросы. Задания
|
| Тема 4.
|
| 1.Векторы. Линейные операции над векторами.
|
| 2.Базис. Разложение вектора по базису.
|
| 3.Скалярное произведение.
|
| 4.Векторное произведение.
|
| 5.Смешанное произведение двух векторов
|
| Контрольные вопросы . Задания
|
| Тема 5.
|
| 1.Уравнение плоскости.
|
| 2.Уравнение прямой.
|
| Контрольные вопросы. Задания
|
| Тема 6.
|
| 1Окружность.
|
| 2.Эллипс.
|
| 3.Гипербола.
|
| 4. Парабола.
|
| Тема 7.
|
| 1.Функция. Область определения.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 8.
|
| 1.Предел последовательности.
|
| 2.Предел функции.
|
| 3.Вычисление пределов функции с помощью замены
бесконечно малых на эквивалентные.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 9.
|
| 1. Непрерывность функции.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема10.
|
| 1. Производная функция
|
| 2. Понятие дифференциала.
|
| 3. Производные высших порядков.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 11.
|
| 1.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 12.
|
| 1. Правило Лопиталя.
|
| Контрольные вопросы Задания.
|
| Тема 13.
|
| 1.Касательная и нормаль к кривой.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 14.
|
| 1.Неопределенный интеграл.
|
| 2.Замена переменной в неопределённом интеграле.
|
| 3.Интегрирование по частям.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема 15.
|
| 1.Определённый интеграл
|
| 2. Вычисление площадей плоских фигур.
|
| 3. Вычисление объёмов тел вращения.
|
| 4.Формулы длин дуг плоских кривых.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
| Тема16.
|
| 1.Несобственные интегралы.
|
| Контрольные вопросы. Задания.
|
|
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Тема1
1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.
Прямая с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчёта и единицей масштаба называется координатной осью.
1º Расстояние d между точками и на оси:
(1)
2º Деление отрезка в данном отношении: даны точки и . Координата точки , делящий отрезок в отношении , определяется по формуле:
(2)
В частности при делении отрезка пополам, т.е. в отношении имеем
(3)
Пример 1. Отрезок двумя точками разделён на три равные части. Определить координаты точек деления, если ,
Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = Следовательно, по формуле (2) находим:
т.е. .
Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда
=2
и по формуле (2) находим:
т.е.
Ответ: , .
2. Прямоугольная система координат на плоскости.
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оy, имеющие общее начало отсчета О и одинаковую единицу масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости.
1º Расстояние между точками и на плоскости: . (4)
2º Деление отрезка в данном отношении: координаты точки , делящей отрезок между точками и в заданном отношении определяются по формулам:
; (5)
в частности, при делении отрезка пополам, т.е.
; (6)
Пример 2.Определите расстояние между точками и .
Решение.Воспользуемся формулой (4), получим:
.
Пример 3. Даны вершины треугольника: , и . Найти длину медианы, проведённой из вершины .
Решение.Найдём координаты точки - середины отрезка ; имеем:
; ; .
Вычислим теперь длину медианы :
.
Полярные координаты.
В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется её расстоянием от полюса ( -полярный радиус вектор точки M) и углом , образованный отрезком с полярной осью Ох ( полярный угол точки). Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.
Если начало декартовой системы координат совместить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоугольные координаты и точки и её полярные координаты и связаны формулами:
(7)
Пример 4. Найти прямоугольные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.
Решение.Используя формулу (7) имеем:
, .
Итак,
4. Прямоугольная система координат в пространстве.
Три взаимно перпендикулярные координатные оси Ох, Оу, Оz с общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат в .
Точка О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.
Пусть М произвольная точка пространства и - радиус вектор точки М. Проекции радиус вектора на оси координат , , называются прямоугольными координатами точки или вектора . Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке соответствует единственная упорядоченная тройка её прямоугольные координаты и обратно, каждой упорядоченной тройка соответствует, и притом одна единственная точка в пространстве .
1º Расстояние между точками и :
(8)
В частности, расстояние точки от начала координаты определяется:
(9)
2º Если отрезок, концами которого служат точки и разделён точкой в отношении , то координаты точки определяются соотношением:
; ; . (10)
Пример 5.Даны точки и . Найти координаты точек и , делящих отрезок на три равных части.
Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = . Следовательно, по формуле (10) находим:
; ; ;
т.е. .
Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда и по формуле (10) находим:
; ;
т.е. . Ответ: , .
Контрольные вопросы
1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.
2. Прямоугольная система координат плоскости.
3. Полярные координаты.
4. Прямоугольная система координат в .
Задания.
1) Определить расстояние между точками: а) и ; б) и .
2) Найти точку , симметричную точке относительно точки .
3) Найти координаты середины отрезка, если известны его концы: 1) и ; 2) , .
4)Определить расстояние между точками: 1) и ; 2) и .
5) Известны точки , - концы отрезка . Показать, что на этом отрезке находится точка , расстояние которой от точки в два раза больше расстояния от точки .
6) Построить точки, заданные полярными координатами , , , .
7) Определить расстояние между точками и . (Применить к треугольнику теорему косинусов.)
9) Найти полярные координаты точек, симметричных точкам , , : 1) относительно полюса; 2) относительно полярной оси.
10) Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами , и
11) В каком отношении точка равноудалённая от точек и , разделит отрезок от начала координат до точки
12) Даны следующие вершины куба , , и . Определить его остальные вершины.
Тема 2.
Определители.
1º Определителем второго порядка
называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:
(1)
2º Определитель третьего порядка записывается в виде
(2)
и определяется равенством
.
3º Свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы строками:
2. Общий множитель элементов любой строки (столбца)определителя можно вынести за знак определителя:
3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
5. При перестановке двух строк (столбцов) определителя , определитель меняет знак на противоположный
6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.
7. .
4º Площадь треугольника с вершинами , , равен
(3)
Алгебраические дополнения и миноры.
1º Минором некоторого элемента определителя, называется определитель, получаемый из данного определителя путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент и обозначается . Например, минором элемента определителя = является определитель = , минором элемента является определитель = и т.д..
2º Алгебраическое дополнение элемента равно минору этого элемента взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент, есть число чётное, и с обратным, если это число – нечётное т.е. .
3º Определитель равен сумме произведений элементов, какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Например,
.
Пример 1. Вычислить определитель:
3.Решение системы методом Крамера. Исследование системы.
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными
Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решение.
Если все равны нулю, то система называется однородной.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
при условии, что определитель системы
=
не равен нулю, имеет следующее единственное решение:
(5)
где ; ; = .
Если определитель системы , то возможны два предположения:
1. Элементы двух строк определителя пропорциональны, например: , тогда:
а) если ,то система не совместна;
б) если , то система не определена;
2. Если найдутся числа и такие, что:
,
тогда: а) если , то система не совместна;
б) если , то система не определена.
Пример 2. Дана система линейных уравнений:
Установить, что система совместна и найти её решение методом Крамера.
Решение. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементам строки. Разложим по первой строке:
Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение. Найдём решение системы по формуле Крамера.
; ;
; ;
Пример 3. Решить систему уравнений.
Решение. и . Однако система не имеет решений. В самом деле, умножим первое уравнение на -2 и сложим со вторым уравнением системы, получим , что не возможно, т.е. система не совместна и не имеет решений.
Пример 4. Решить систему уравнений:
Решение. , Система имеет бесконечно много решений. В самом деле, складывая первые два уравнения, получаем третью и данная система имеет два существенных уравнения:
Следовательно, получим
Контрольные вопросы
1. Определители.
2. Алгебраические дополнения и миноры.
3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.
Задания.
1. Вычислить определители, разложив их по элементам:а) первого столбца; б) по элементам третьей строки.
, .
2. Найти площадь треугольника с вершинами , , .
3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя.
.
4. Решить системы уравнений методом Крамера.
, , .
.
Тема 3
1. Матрицы.
Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей третьего порядка, а определитель
соответствующим определителем этой матрицы.
Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей второго порядка, а определитель
соответствующим определителем этой матрицы.
1.Матрица A называется невырожденной, если и вырожденной (особой), если .
2.Если элементы , то матрица называется симметрической
3.Две матрицы и считается равными тогда и только тогда когда .
4. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которого равны нулю
5. Единичной матрицей называется матрица ,
Элементарные преобразование матриц.
Элементарными преобразованиями матриц являются:
1) Перестановка местами двух параллельных строк (столбцов) матрицы;
2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное то нуля;
3)Прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов параллельной строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получится из другой с помощью элементарных преобразований.
Суммой двух матриц А и В называется матрица А+В, определяемое равенством
Произведением матрицы А на число называется матрица , определяемое равенством
Произведением двух матриц A и B называется матрица AB определяемое равенством
,
т.е. элемент матрицы – произведения стоящей в -й строке и k - м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы A и k-го столбца матрицы B.
Для произведения двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: .
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц .
Обратная матрица
1)Матрица B называется обратной по отношению к матрице А, если . Матрицу, обратную по отношению к матрице A, принято обозначать .
2) Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.
3) Обратная матрица к матрице находится по формуле
,
где -алгебраическое дополнение элемента матрицы .
4)Обратная матрица к матрице находится по формуле
где - алгебраические дополнения элемента определителя .
Пример1. Найти сумму и произведения матриц и .
Решение.
,
Пример 2. Найти обратную матрицу к матрице
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
; ; :
; ; ;
; ; .
Следовательно,
.
3. Матричный способ решения линейных уравнений.
Матрицей – столбцом называется матрица вида .
Произведение определяется равенством:
Система уравнений
может быть записана в виде
,
где .
Решение этой системы имеет вид , если .
Пример 3. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
Решение.Перепишем систему в виде ,
где , , .
Решение матричного уравнения имеет вид . Найдем . Имеем
Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
; ; ;
; ; ;
; ; .
Таким образом, .
Откуда
Следовательно, , , .
Пример 4 Решить матричные уравнения , где .
Решение.
1) Найдем обратную матрицу . Обратная матрица к матрице вычисляется по формуле:
,
где -алгебраическое дополнение элемента матрицы , находящегося на пересечении -ой строки и -го столбца.
, то .
2)Умножим слева правую и левую части равенства на . Получим .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|