Способы непосредственного вычисления вероятностей

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Вологодский государственный университет

Кафедра высшей математики

Дополнительные главы математики

Учебное пособие

Вологда

УДК 629.113.004.5

Дополнительные главы математики: учебное пособие. Вологда: ВоГУ, 68 с.

В пособии изложен теоретический материал дисциплины «Дополнительные главы математики» касающийся таких разделов теории вероятностей как «Случайные события» и «Случайные величины». Изложение сопровождается многочисленными примерами, а также иллюстрациями.

Представлены задания для самостоятельной работы студентов, которые сопровождаются подробными примерами их решения.

Пособие составлено преподавателями кафедры высшей математики ВоГУ: доцентом Микрюковой О.И., старшим преподавателем Быстроумовой А.П., старшим преподавателем Иконниковой С.А..

Рецензенты:

Введение

Представленное учебное пособие предназначено для организации самостоятельного изучения дисциплины «Дополнительные главы математики». Обучение по программам бакалавриата предполагает большой объём самостоятельной работы, особенно это касается заочной формы обучения.

Данное пособие, в первую очередь, будет полезно студентам, обучающимся по направлению 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», профилю «Автомобили и автомобильное хозяйство». В нём изложен теоретический материал дисциплины «Дополнительные главы математики», касающийся таких разделов теории вероятностей как «Случайные события» и «Случайные величины» и необходимый для выполнения контрольных работ №3 и №4, предусмотренных учебным планом при изучении данной дисциплины. Объём теоретического материала соответствует требованиям федерального государственного образовательного стандарта для указанного направления обучения. Изложение материала сопровождается многочисленными примерами, а также иллюстрациями.

В пособии представлены задания контрольных работ №3 и №4 и примеры их решения.

При выборе материала для контрольных работ и примеров авторы старались учесть сферу профессиональной деятельности обучающихся по направлению 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов».

Основные понятия теории вероятностей

Предмет изучения теории вероятностей

Наблюдая за окружающей действительностью и нашей собственной жизнью можно заметить следующее: имеется некоторый набор условий, реализация которых (опыт) приводит всякий раз к несколько различным результатам. Например, взяли монетку в руку, подбросили и ... то ли решка, то ли орел, то ли ребром. Собрались, пошли в вуз, расстояние одно и то же, но время в пути каждый раз немного разное. Земля, вращаясь по орбите вокруг Солнца, заняла определенное положение, наступила весна, которая, тем не менее, всегда неповторима.

Эти и еще множество других явлений называются случайными, т.е. от случая к случаю протекающими несколько по-иному.

Однако и в случайном есть свои закономерности. Например, в 18 веке французский ученый Бюффон 4040 раз подряд подбросил монету, в 2048 случаях выпал герб, английский статистик Пирсон в начале двадцатого века подбросил монету 24000 раз, из которых 12012 раз появился герб. Повторение подобного опыта приводит к тому же результату: при большом числе подбрасываний практически в половине случаев выпадает цифра, в половине - герб. Время прихода в институт также колеблется вокруг некоторой средней величины. В погоде также есть свои закономерности, которые отличают, скажем, погоду средних широт от экваториальной.

Теорией вероятностей называется раздел математики, изучающий закономерности массовых (т.е. повторяющихся многократно) случайных явлений.

Изучение теории вероятностей начинается с определения некоторого основного понятия, такого, как число в арифметике, вектор в векторной алгебре, матрица в линейной алгебре. Таким понятием является случайное событие.

Конкретное осуществление случайного явления, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием.

Пример. Выпадение той или иной цифры при бросании игральной кости - случайное явление. Оно может осуществиться через следующие случайные события: появление на верхней грани единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки. Обычно говорят, что опыт (в данном случае бросание кости) может завершиться одним из шести исходов.

Случайные события обозначаются обычно большими латинскими буквами A, B, C и т.д.

Численная мера возможности осуществления случайного события называется его вероятностью и обозначается и т.д.

Виды случайных событий

Если появление одного из событий исключает наступление другого, они называются несовместными.

Например, выпадение одновременно и цифры и герба при бросании одной монеты.

Если же события могут произойти одновременно, то они называются совместными.

Например, при бросании двух монет могут одновременно выпасть и цифра и герб.

Если вероятности событий одинаковы, то они называются равновозможными.

Например, при бросании точно выполненной однородной игральной кости появление на верхней грани любой цифры от 1 до 6 равновозможно. Также одинакова вероятность достать любую карту из хорошо протасованной колоды.

Если в результате опыта случайное событие обязательно произойдет, оно называется достоверным.

Например, достоверное событие - замерзание чистой воды при отрицательных температурах.

Невозможным называется событие, которое в результате опыта никогда не наступает.

Например, появление цифры 7 при бросании игральной кости.

Если несовместные события таковы, что в результате опыта должно обязательно произойти одно из них, то говорят, что они образуют полную группу событий.

Например, два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Для этого опыта следующие события образуют полную группу:

- в мишень попали оба;

- оба промахнулись;

- первый попал, второй промахнулся;

- первый промахнулся, второй попал.

Каждое событие из полной для данного опыта группы событий часто называют исходом опыта или элементарным событием.

Если полную группу образуют два события, то они называются противоположными. Событие, противоположное , обозначается . Смысл события, противоположного А, состоит в ненаступлении события А.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется при наступлении другого.

Например, независимыми можно считать следующие события: попадание в мишень для одного из стрелков, когда два стрелка вместе стреляют по цели; присутствие отдельного студента группы на лекции.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется при наступлении события .

Условной вероятностью события относительно события называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие наступило.

Способы непосредственного вычисления вероятностей

Количественной характеристикой случайного события является его вероятность, способ вычисления которой зависит от того, исходом какого опыта является данное событие. Рассмотрим различные варианты.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: