Сделай Сам Свою Работу на 5

Числовые характеристики дискретной случайной величины





Числовые характеристики служат для краткого описания ДСВ и делятся на две группы: характеристики положения центра рассеяния и характеристики разброса. К первым относятся математическое ожидание, мода и медиана случайной величины. Дадим их определения:

1) Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется значение, определяемое следующей формулой:

.

Математическое ожидание представляет собой средневзвешенное всех значений случайной величины Х (“весами” служат вероятности отдельных значений) и характеризует порядок величины (десятые, сотые, целые числа, десятки, сотни и т. д.).

.

Для разобранного в данном разделе примера

.

2) Модой дискретной случайной величины называется ее значение, имеющее наибольшую вероятность.

В нашем примере = 2.

3) Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется следующее условие: имеется одинаковое количество значений, которые не больше (меньше или равны) и не меньше (больше или равны) медианы.

Если количество значений ДСВ – нечётное, то за медиану берут среднее значение, учитывая, что значения случайной величины указаны в порядке возрастания. Если количество значений ДСВ – чётное, то за медиану берут полусумму двух средних значений.



В нашем примере . Действительно, имеется два значения меньше медианы (0 и 1) и два значения больше медианы (2 и 3).

Перечисленные характеристики указывают точку на числовой оси (центр рассеяния), вокруг которой группируются отдельные значения случайной величины. Насколько далеко они отстоят от центра рассеяния, указывают характеристики разброса.

Необходимость их введения можно пояснить на примере.

Пусть заданы две случайные величины и .

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
– 10
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

По данным из таблицы найдем математическое ожидание

,

.

Видно, что при одной и той же величине математического ожидания, отдельные значения отличаются от гораздо меньше, чем отдельные значения от . Числовые характеристики, определения которых сейчас будут даны, учитывают эту разницу в поведении случайных величин.

1) Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания. Для ДСВ дисперсия вычисляется по формуле:



.

Преобразование этой формулы позволяет привести ее к более удобному виду:

Используя аналогию с можно обозначить .

Тогда .

Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания.

Вычислим значение дисперсии для случайной величины Х, рассмотренной в примере. По первой формуле:

.

По второй формуле:

.

Следует помнить, что, по своему определению, дисперсия – величин неотрицательная, т. е. .

2) Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

.

Характеристика вводится, чтобы иметь возможность указать разброс в той же размерности, что и сама случайная величина (т. к. дисперсия имеет размерность квадрата Х).

Для нашего примера » 0. 81.

Среднеквадратическое отклонение имеет смысл абсолютной погрешности при замене Х ее математическим ожиданием.

3) Вариацией случайной величины Х называется отношение

.

Вариация имеет смысл относительной погрешности.

В нашем примере .

4.4. Способы задания закона распределения непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина Х принимает значения из некоторого промежутка . Значения и , в зависимости от конкретных условий, могут быть различными, а сам промежуток может быть конечным (например, [–1,2]), полубесконечным (например, (- ,0] или [3, )) или бесконечным . Подразумевается, что .



Все значения, попадающие на , невозможно перечислить, поэтому невозможно и указать, какие вероятности им соответствуют. Чтобы охарактеризовать распределение вероятностей в этом случае, поступают так. На выделяют участок от до и находят отношение вероятности попадания на этот участок к длине участка:

.

представляет собой среднюю вероятность, приходящуюся на единицу измерения Х, вычисленную на участке . По аналогии с плотностью (массой, приходящейся на единицу объема) она может быть названа средней плотностью вероятности. Средняя плотность вероятности зависит и от положения точки , и от длины участка . Чтобы исключить влияние , его стараются взять как можно меньшим, т. е. находят предел:

.

Функция называется плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности). Она должна удовлетворять следующему требованию:

.

График функции плотности вероятности называется кривой распределения.

Как и для ДСВ, вводится понятие функции распределения: . Между функциями и имеется тесная связь:

;

.

Т. е. плотность вероятности является производной от функции распределения и, наоборот, функция распределения является первообразной для плотности вероятности, ее можно найти по формуле:

.

В связи с этим, называют иногда дифференциальной функцией распределения, а - интегральной. Свойства функции для НСВ аналогичны свойствам функции распределения для ДСВ.

Функция распределения может быть представлена в аналитическом и графическом виде.

С помощью функции распределения можно найти вероятность попадания значений случайной величины на промежуток :

.

Рассмотрим различные способы задания непрерывной случайной величины на примере.

Пример. Точку ставят наугад внутрь круга радиуса . Задать случайную величину – расстояние от точки до центра круга.

Очевидно, что может принимать любые значения в промежутке . Чтобы найти вид функции плотности вероятности , составим соответствующий предел. Изменению значений от до соответствует попадание точки внутрь кольца, ограниченного окружностями с радиусами и . Вероятность попадания на этот участок согласно геометрическому определению вероятности равна отношению площади этого участка к площади всего круга:

.

Тогда .

Полученной формулой для плотности вероятности можно пользоваться, если . Для остальных значений аргумента она равна 0. Окончательно:

или

Найдём вид функции распределения, пользуясь формулой и учитывая, что функция плотности вероятности имеет различный вид на разных промежутках.

а) , .

б) , .

в) , .

Окончательно:

Графики обеих функций представлены ниже.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.